以前の記事の続きです。
今年出された展開図から体積を求める問題です。
その1（灘2024）
ある立体の展開図は図のようになっています。この立体の体積は▢㎤です。ただし、同じ記号がかかれた辺の長さは等しいとします。
この図を組み立てると下図左のような七面体になる。これは大きな三角すいから小さな三角すい（赤）3つを取り除いた形（下図右）
このとき小さな三角すいと大きな三角すいは（辺の比1：3より）体積比は1：27。つまり小さな三角すいの体積を①とすると青の七面体の体積は㉔（＝㉗－①×3）
よって小さな三角すいの体積①は ³⁄₂׳⁄₂÷2׳⁄₂÷3＝⁹⁄₁₆ だから求める体積㉔は ⁹⁄₁₆×24＝²⁷⁄₂＝13.5㎤
その2（西大和学園2024）
展開図が図のような立体Aについて考えます。展開図を点線で折りたたむと、ぴったりと重なります。また、どの面も合同なー辺の長さが6cmの正三角形でできている三角すいを立体Bとします。以下の▢にあてはまる数を求めなさい。
⑴ 立体Aの体積は、立体Bの体積の▢倍です。
立体Aと立体Bのイメージ図を書くと次のとおり。
このとき
- 立体Aは下図の黒の二等辺三角形を底面とする断頭三角柱
- 立体Bは同じ黒の二等辺三角形を底面とする三角柱（が2個くっついた形）
とみることができる。
黒の二等辺三角形の面積を1としてそれぞれの体積を求めると
- 立体A…平均の高さは (6+12+12)÷3＝10㎝ だから 1×10＝10㎤
- 立体B…1×3÷3×2＝2㎤
よって 10÷2＝5 より ▢＝5倍
⑵ 展開図の●をつけた点を通る平面で立体Aを切断すると、2つの立体に分かれます。大きい方の立体の体積は立体Bの体積の▢倍です。ただし●は各辺の真ん中の点とします。
立体Aは下図左のように立体㋐（赤）と立体㋑（青）に切断される。
ここで上図右のようなどの面も合同なー辺の長さが3cmの正三角形でできた正三角すい（立体Cとする）を考える。このとき
❶まず立体㋐の体積は立体Cの何倍かを小問⑴と同じように考えると（これも真ん中に面積1の二等辺三角形を考えて）
- 立体㋐…平均の高さは (6+9+9)÷3＝8㎝ だから 1×8＝8㎤
- 立体B…1×1.5÷3×2＝1㎤
より立体㋐の体積は立体Bの8倍
❷つぎに立体Bの体積は立体Cの何倍かを考えると
辺の比が2倍だから体積比は8倍。つまり立体Bの体積も立体Cの8倍
❸とすると立体Cの体積を①とすると立体㋐の体積は⑧、立体Bの体積も⑧だから立体Aの体積はその5倍（小問⑴）で㊵
よって立体㋑（大きい方の立体）の体積は㊵－⑧＝㉜だから立体Bの体積⑧の 4倍
⑶ 展開図の〇をつけた点を通る平面は、立体Aの辺PQ上の点Rを通ります。このとき、PRの長さは▢cmです。
この平面は次の赤い面のようになる（点Rの位置がまだわからないので4つある辺のうちRを通る2本の点線は仮のもの）
ここで補助線ア、イを次のように引いてその交わる点をS、立体Aの左上の頂点をTとすると手前の面に相似比2：4の相似な三角形ができるからST＝6㎝がまずわかる。
つぎにS、T、R、Pのある奥の面に注目すると、次のように等脚台形の右上部分に1辺3㎝の正三角形をつけ足すと△STRより一回り大きな相似な三角形ができる。
このとき相似比が 6：(6+6+3)＝2：5 より TR＝3×2÷5＝1.2㎝
よって PR＝6－1.2＝4.8㎝ 
