以前の記事に関連する話です。
ニュートン算の第7弾です。
その1（成蹊2023）
ある遊園地では、開園時間より前に行列ができており、開園後も毎分40人の割合で行列に人が加わります。開園と同時に入場口を4つ開けると40分で行列がなくなり、入場口を8つ開けると10分で行列がなくなります。開園時間より前の行列には、何人並んでいましたか。ただし、どの入場口からも1分間に入ることができる人数は等しいものとします。
1つの入場口で入場できる人数を毎分①人とする。
行列は「毎分40人の割合で」ふえていくから
- 「入場口を4つ開ける」と毎分④人ずつ入場できるので差し引き毎分(④－40)人ずつ行列はへっていく（左の面積図のタテ）。このとき行列は「40分で」なくなる（左の面積図の横）→行列の人数は(④－40)×40であらわせる
- 「入場口を8つ開ける」と毎分⑧人ずつ入場できるので差し引き毎分(⑧－40)人ずつ行列はへっていく（右の面積図のタテ）。このとき行列は「10分で」なくなる（右の面積図の横）→行列の人数は(⑧－40)×10であらわせる
(④－40)×40＝(⑧－40)×10 より
⑯－160＝⑧－40 だから ①＝毎分15人
よってはじめにあった行列の人数は（左の面積図で計算して）
(15×4－40)×40＝800人
その2（桜美林2023算数）
ある遊園地は9時に開場します。開場前から入場待ちの行列があり、開場後も毎分一定の人数が行列に加わっていきます。入場ロを8か所開けると9時40分に行列がなくなり、入場ロを12か所開けると9時20分に行列がなくなります。入場ロを9か所開けると行列がなくなるのは9時何分ですか。
1つの入場口で入場できる人数を毎分1とする。
開場後も行列に加わる「毎分一定の人数」を毎分▢人とすると
- 「入場口を8か所開ける」と毎分8ずつ入場できるので差し引き毎分(8－▢)人ずつ行列はへっていく（左の面積図のタテ）。このとき行列は40分で（「9時40分に」）なくなる（左の面積図の横）→行列の人数は(8－▢)×40
- 「入場口を12か所開ける」と毎分12ずつ入場できるので差し引き毎分(12－▢)人ずつ行列はへっていく（右の面積図のタテ）。このとき行列は20分で（「9時20分に」）なくなる（右の面積図の横）→行列の人数は(12－▢)×20
(8－▢)×40＝(12－▢)×20 より
16－▢×2＝12－▢ だから ▢＝④
つまり行列に加わるのは毎分4、はじめにあった行列の人数は (8－4)×40＝160 とわかる
したがって「入場ロを9か所開ける」と毎分9ずつ入場できるからへっていく人数は毎分5（＝9－4）なので行列がなくなるまでに 160÷5＝32分 かかる。
よって行列がなくなるのは9時32分
その3（世田谷学園2023算数）
ある牧場では牛と馬を放牧しています。牛を40頭、馬を20頭を放すと18日で牧場の草を食べつくしてしまい、牛と馬の頭数を入れかえて放すと21日で牧場の草を食べつくしてしまいます。草は毎日一定の割合で生え、牛1頭と馬1頭が1日に食べる草の量の比は3 : 2です。
このとき、次の問いに答えなさい。
⑴ 1日で生える草の量と、牛1頭が1日に食べる草の量の比を、最も簡単な整数の比で答えなさい。
牛1頭が1日あたり3、馬1頭が1日あたり2食べるとする。
- 「牛を40頭、馬を20頭」放すと 3×40+2×20＝160
- 「頭数を入れかえて」牛を20頭、馬を40頭放すと 3×20+2×40＝140
(160－□)×18＝(140－□)×21 より
960－6×□＝980－7×□ だから ▢＝20
よって1日で生える草の量20と牛1頭が1日に食べる草の量3の比は 20：3
⑵ 牛と馬を30頭ずつ10日間放牧し、そのあと牛の数だけを減らしてさらに15日以上放牧させるためには、牛を何頭以下にすればいですか。
1日で食べる量は牛1頭が3、馬1頭が2、1日で生える草の量は20だからはじめに生えていた草の量は
(160－20)×18＝2520
そして「牛と馬を30頭ずつ10日間放牧」したから
((3+2)×30－20)×10＝1300
の草を食べたのでいま残りの草は1220
この牧草がちょうど15日でなくなるような牛の数を▢頭とすると（馬30頭は変わらないから）
(3×□+2×30－20)×15＝1220
が成り立つから 3×□+40＝244/3
より ▢＝¹²⁴⁄₉＝約13.7頭
よって（牛の数が約13.7頭のときちょうど15日で草がなくなるということは）15日以上放牧させるための牛の頭数は13頭以下 
