以前の記事の続きです。
今年出題された食塩水の問題の第15弾になります。
3つの食塩水①（世田谷学園2023）
A、B、Cの3つの容器に食塩水が入っており、Aの食塩水の濃度は10%です。A、B、Cからそれぞれ200g、300g、400gずつ取り出して混ぜると、8%の食塩水ができます。また、A、B、Cからそれぞれ400g、300g、50gずつ取り出して混ぜると、9%の食塩水ができます。このとき、次の問いに答えなさい。
⑴ Bの食塩水の濃度は何%ですか。
「Aの食塩水の濃度は10%」とAについては濃度の情報があり食塩の量が出せる。
そこでAをはずして混ぜたときの食塩の量を考えると
❶「A、B、Cからそれぞれ200g、300g、400gずつ取り出して混ぜると、8%の食塩水」ができる。
- ここに入っている食塩は72g（＝900×0.08）でこのうち200×0.1＝20gの食塩がAからきたもの
- とするとBから300gとCから400gを取り出してできる食塩水700gのなかには72－20＝52gの食塩が入っている…①
- ここに入っている食塩は67.5g（＝750×0.09）でこのうち400×0.1＝40gの食塩がAからきたもの
- とするとBから300gとCから50gを取り出してできる食塩水350gのなかには67.5－40＝27.5gの食塩が入っている…②
とすると②より、Cから取り出した食塩水50gには 50×0.07＝3.5gの食塩が入っているから、それ以外の（27.5－3.5＝）24gの食塩はBから取り出した食塩水300gのなかに入っていたもの
よって 24÷300＝0.08 よりBの濃度は 8％
⑵ A、Bからそれぞれ1：2の割合で食塩水を取り出して混ぜ、さらにCから取り出した食塩水を混ぜると、7.6%の食塩水が1000gできました。Cから取り出した食塩水は何gですか。
それぞれの濃度はAが10％、Bが8％、Cが7％とわかった。
このとき「A、Bからそれぞれ1：2の割合で食塩水を取り出して混ぜ」ると濃度は 8+(10－8)×⅓＝8⅔％になる
これと「Cから取り出した食塩水を混ぜると、7.6%の食塩水が1000g」できた。このときの天びん図を書くとうでの長さの比は
(7.6－7)：(8⅔－7.6)＝0.6：1¹⁄₁₅＝9：16
よってCの濃度は
1000÷(16+9)×16＝640g
比でまぜる（吉祥女子2023第2回）
2つの食塩水A、Bがあります。AとBを3：2の割合で混ぜると13%の食塩水ができます。また、AとBを2：3の割合で混ぜると11%の食塩水ができます。AとBを3：5の割合で混ぜたときにできる食塩水の濃さは何%ですか。
「AとBを3：2の割合で混ぜると13%」の天びん図と「AとBを2：3の割合で混ぜると11%」の天びん図を書く。うでの長さはどちらも合計5でそろっているからそのまま比べることができて1＝2％がわかる。
したがってAの濃度は17％（＝13％+2％×2）でBの濃度は7％（＝13％－2％×3）
よって「AとBを3：5の割合で混ぜたとき」の天びん図を書くと
その濃度は 7+(17－7)×⅜＝10.75％
3つの食塩水②（暁星2023）
100gの食塩水A、B、Cがそれぞれ2つずつあります。濃度はAが2%、Bが3%、Cが5%です。次のような操作を行って、太郎君は食塩水D、E、Fを、次郎君は食塩水G、H、Iをそれぞれ100gずつ作りました。
・食塩水D、GはAの一部とBの一部を混ぜました。
・食塩水E、HはBの一部とCの一部を混ぜました。
・食塩水F、IはCの一部とAの一部を混ぜました。
⑴ EとFの濃度が等しくなりました。Dの濃度を求めなさい。
太郎君が食塩水Dを作るのに食塩水A（100g）のうち①gを使ったとする。このとき食塩水D、E、Fについて次のように決まる
- 食塩水Aのうち①gと食塩水Bのうち (100－①)gを使って食塩水Dを100g作った（下図の青）
- 食塩水Bの残り①gと食塩水Cのうち(100－①)gを使って食塩水Eを100g作った（下図の赤）
- 食塩水Cの残り①gと食塩水Aの残り(100－①)gを使って食塩水Fを100g作った（下図の黒）
その結果「EとFの濃度が等しく」なった。食塩水の量は同じ100gなのでEとFの食塩の量が等しいことに注目して式をつくると
①×3％+(100－①)×5％＝①×5％+(100－①)×2％
③+500－⑤＝⑤+200－② より ①＝60g
よってDに入っている食塩の量は
60g×2％+40g×3％＝2.4g
だから（食塩水は100gなので）Dの濃度は 2.4％
⑵ GとIにそれぞれ［あ］gずつ食塩を加えたら、G、H、Iの濃度がすべて等しくなりました。［あ］にあてはまる値を求めなさい。
「GとIにそれぞれ［あ］gずつ食塩を加えた」ところGとIの濃度が等しくなったということなのでGとIは食塩を加える前も同じ濃度だったことがわかる。
次郎君が食塩水Gを作るのに食塩水A（100g）のうち
gを使ったとする。このとき食塩水G、Iについて次のように決まる
- 食塩水Aのうち
gと食塩水Bのうち (100－)gを使って食塩水Gを100g作った（下図の青） - 食塩水Cのうちgと食塩水Aの残り(100－)gを使って食塩水Iを100g作った（下図の黒）
その結果GとIは同じ濃度になったからGとIの食塩の量が等しいことに注目して式をつくると
×2％+(100－)×3％＝×5％+(100－)×2％
+300－
＝
+200－ より ＝25g
これを使って考えると
- 食塩水Gに入っている食塩は 25g×2％+75g×3％＝2.75g だからGの濃度は2.75％
- 食塩水Hに入っている食塩は 25g×3％+75g×5％＝4.5g だからHの濃度は4.5％
- そこで食塩水G（濃度2.75％）100gと食塩（濃度100％）△gを混ぜると濃度4.5％（食塩水Hと同じ）になる天びん図を書くと
よって△＝7×100÷382＝³⁵⁰⁄₁₉₁ より
あ＝³⁵⁰⁄₁₉₁ 
