以前の記事の続きです。
回転体の表面積を求める問題で円すいの側面積部分があるときに「展開図で考えるとおうぎ形の中心角は…」と正面から取り組むとおそろしく時間がかかります（しかも計算ミスも出やすい）。
答えだけきかれている問題ではパップス＝ギュルダンの定理を使ってあっさり出したいところです。
その1（桃山学院2023B）
図のように、1辺が12cmの正方形から2つの合同な三角形を切り取って残った、周りの長さ40cmの五角形ABCDEがあります。この五角形を辺BCを軸に1回転して立体を作りました。このとき、次の問いに答えなさい。
⑴ この立体のうち、辺DEが通ってできた部分の面積は何㎠ですか。
回転体の展開図を考えるとこの部分は長方形となる。
長方形の横は辺CD（＝12cm）を半径とする円の円周、たては辺DE（＝4cm）だからその面積は
12×2×3.14×4＝301.44㎠
⑵ できた立体の体積は何㎤ですか。
（本題ではないので最後に回します）
⑶ 辺AEが通っててきた部分の面積は何㎠ですか。
小問⑴で「辺DEが通ってできた部分の面積」を求めたときの計算式（12×2×3.14×4）は辺DEが辺BCまでの距離を半径とする円の円周を回ると考えたのと同じになっている（下図の赤）
同じように「辺AEが通ってできた部分の面積」を求めるには辺AEが辺BCまでの距離を半径とする円の円周を回るものとして計算できる。このとき辺BCまでの距離は辺AEの中心Mからの距離となる（パップス＝ギュルダンの定理より）
よってその面積は
9×2×3.14×10＝180×3.14＝565.2㎠
その2（鷗友学園2023）
図のようなAB=ACの二等辺三角形ABCがあります。この三角形を、直線mを軸として1回転してできる立体をVとします。ただし、直線mと辺BCは垂直です。このとき、CDの長さと、立体Vの表面積を求めなさい。
まず次のように三角形の相似を考えることでCDの長さ15㎝（＝6+9）とわかる。
立体Vは下図の青の四角形を回転させたものと考えてよい。そこで辺ABと軸ｍの交わる点をEとし、❶AEを回した部分の面積、❷ACを回した部分の面積、❸DCを回した部分の面積の3つにわけて考えると
❶AEを回した部分の面積
AE（長さ10㎝）の中心から軸ｍまでの距離3㎝だから
3×2×3.14×10＝60×3.14
❷ACを回した部分の面積
AC（長さ15㎝）の中心から軸mまでの距離10.5㎝だから
10.5×2×3.14×15＝315×3.14
❸DCを回した部分の面積
DC（長さ15㎝）を半径とする円の面積だから
15×15×3.14＝225×3.14
よって立体Vの表面積は➊❷❸の合計で
(60+315+225)×3.14＝600×3.14＝1884㎠
その3（慶應義塾中等部2023）
2辺AB、ACが等しい二等辺三角形と長方形を［図4］のように組み合わせました。この図形を直線PQのまわりに 1回転させてできる立体の表面の面積は▢㎠です。
次のようにD、E、Fの記号をつける。
❶BA、❷AC、❸CD、❹DE、❺EF、❻FBの6つの部分にわけてそれぞれを回したときの面積を考えると
❶BA（長さ5㎝）の中心からPQまでの距離1.5㎝だから
1.5×2×3.14×5＝15×3.14
❷AC（長さ5㎝）の中心からPQまでの距離4.5㎝だから
4.5×2×3.14×5＝45×3.14
❸CD（長さ3㎝）からPQまでの距離6㎝で
6×2×3.14×3＝36×3.14
❺EF（長さ3㎝）からPQまでの距離4㎝で
4×2×3.14×3＝24×3.14
❹❻まとめて半径6㎝の円になるから
6×6×3.14＝36×3.14
以上の合計で
(15+45+36+24+36)×3.14＝156×3.14＝489.84㎠ 
その1の小問⑵
図のように、1辺が12cmの正方形から2つの合同な三角形を切り取って残った、周りの長さ40cmの五角形ABCDEがあります。この五角形を辺BCを軸に1回転して立体を作りました。
⑵ できた立体の体積は何㎤ですか。
まず「1辺が12cmの正方形から2つの合同な三角形を切り取って残った、周りの長さ40cmの五角形ABCDE」だからAB=AE＝10cm
ここでAを頂点の1つとする直角三角形（下図の黒）を考える。この三角形を回してできる円すいの体積を①とする。
BEに補助線を引きその上下にあるア、イ、ウの3つに分けたとき、それぞれの回転体の体積がどうなるか考えると
- ア…黒の円すいと同じ体積だから①
- イ…①＋ア＋イ＝⑧だからイ＝⑥
- ウ…この上にある大きな円すい（体積⑧、高さ16cm）と比べると高さが¼倍、円柱で体積3倍だから ⑧×¼×3＝⑥
よって求める立体の体積は⑥＋⑥＝⑫。
そして①＝6×6×3.14×8÷3＝96×3.14だから
96×3.14×12＝3617.28㎤
