カード問題⑪（最大公約数）

以前の記事の続きです。

こちらも今年出されたカード問題です。

1から200までの整数が書かれた200枚のカードがあり、ここからA君、B君、C君の順に1枚ずつカードを引きました。なお、引いたカードはもとにもどさなかったものとします。
B君が引いたカードに書かれていた数は、同じ整数を2回かけた数でした。また、3人がそれぞれ引いたカードに書かれていた数の最大公約数と、A君とB君の2人がそれぞれ引いたカードに書かれていた数の最大公約数はともに12でした。あとの問いに答えなさい。（東京都市大学付属2023第2回）
問1 A君が引いたカードに書かれていた数は、全部で何通り考えられますか。

まずB君のカードを考えると「1から200までの整数」のうち「同じ整数を2回かけた数」つまり平方数。また「A君とB君の2人がそれぞれ引いたカードに書かれていた数の最大公約数は…12」だから12の倍数。

となるとB君のカードは36（＝12×3）か144（＝12×12）のどちらか。場合分けをして調べると

B君のカードが36のとき…A君のカードは 12×1、12×2、12×4、12×5、12×7、12×8、12×10、12×11、12×13、12×14、12×16 の11通り（12×3、12×6、12×9、12×12、12×15だと最大公約数36となってしまう。また12×17＝204からは200を超えてしまう）
B君のカードが144のとき…A君のカードは 12×1、12×5、12×7、12×11、12×13 の5通りあるがこれらはすべて1.と重なる

よって全部で 11通り

受験生正答率22%の問題。このあと小問⑵が28％、小問⑶が7％と続きます（学校発表）

「A君が引いたカードに書かれていた数が7の倍数」のときその数は①84（＝12×7）か②168（＝12×14）

このとき「A君が引いたカードに書かれていた数の約数の個数」は

①84＝2×2×3×7だから（×2が2コ、×3が1コ、×7が1コなのでそれぞれの個数に1を足したものの積が約数の個数だから）3×2×2＝12個

②168＝2×2×2×3×7だから 4×2×2＝16個

またB君のカードは㋐36（＝12×3）か㋑144（＝12×12）のどちらか。このとき「B君の引いたカードの数の約数の個数」は

㋐36＝2×2×3×3だから 3×3＝9個

㋑144＝2×2×2×2×3×3だから 5×3＝15個

とすると「約数の個数の和が最も大きくなる」のは②と㋑の組合せのときとなりそうだが168と144の最大公約数は（12ではなく）24となってしまい②と㋑の組合せはない。

よって次に大きい①と㋑の組合せが答えとなり（84と144の最大公約数はたしかに12となり）その約数の個数の和は 12+15＝27

「A君が引いたカードに書かれていた数が5の倍数」のときその数は①60（＝12×5）か②120（＝12×10）

B君のカードは㋐36（＝12×3）か㋑144（＝12×12）のどちらかだが、最大公約数が12となる組合せは①と㋐、①と㋑、②と㋐の3通りある（②と㋑だと120と144の最大公約数なので24となってしまう）

それぞれ調べていくと

①と㋐のとき…A＝60、B＝36。このときB+Cは（37以上236以下で60の倍数をさがすと）60、120、180のどれか→ (A,B,C) は (60,36,24)、(60,36,84)、(60,36,144）の3通り
①と㋑のとき…A＝60、B＝144。このときB+Cは（145以上344以下の60の倍数だから）180、240、300のどれか→ (A,B,C) は (60,144,36)、(60,144,96)、(60,144,156) の3通り
②と㋐のとき…A＝120、B＝36。このときB+Cは（37以上237以下の120の倍数だから）120だけ→ (A,B,C) は (120,36,84) の1通り
以上の7通りはすべて「3人がそれぞれ引いたカードに書かれていた数の最大公約数」は12という条件にも合っている

よって 7通り