以前の記事の続きです。
前半は中学入試でよく見かける基本問題、後半は応用問題となっています。
4けたの整数（函館ラサール数2023第2次）
⑴ 1、2、3、4の4つの数字をすべて使ってできる4けたの整数はいくつありますか。
千の位の選び方が4通り、百の位が残った3通り、十の位が残った2通り、一の位が残った1通りで
4×3×2×1＝24個
⑵ 0、1、2、3の4つの数字をすべて使ってできる4けたの整数はいくつありますか。
千の位の選び方が3通り、百の位が残った3通り、十の位が残った2通り、一の位が残った1通りで
3×3×2×1＝18個
⑶ 0、1、2、3、4の5つの数字を使って、4けたの整数をつくります。ちょうど2種類の数字だけを使ってできる整数はいくつありますか。ただし、同じ数字を何回使ってもよいですが、同じ数字がとなり合ってはいけません。
まず「同じ数字を何回使ってもよい」という条件だが「同じ数字がとなり合っては」いけないので同じ数字が使えるのは最大2回まで。とすると結局2種類の数を2回ずつとなり合わないように使うこととなる。
1、どの2つの数を選ぶかで 5×4÷2＝10通り
2、選んだ2つの数（A、Bとする）のおき方は次のようにそれぞれ2通りあるから 10×2＝20通り
3，ここには0が千の位にくるもの4通り（0101、0202、0303、0404）も数えているのでこれを引いて
20－4＝16個
⑷ 1、2、3、4の4つの数字を使って、4けたの整数をつくります。3の倍数はいくつありますか。ただし、同じ数字を何回使ってもよいですが、同じ数字がとなり合ってはいけません。
小問⑶で見たように同じ数字が使えるのは最大2回までなのでこの4けたの数が「3の倍数」のとき（各ケタの数の和も3の倍数だから）各ケタの数の和は6、9、12のどれか。
そこで考えやすいように上2ケタ（千の位と百の位）と下2ケタ（十の位と一の位）のペアで考える。すると全体の和が6、9、12になる組合せは
（上2ケタの和、下2ケタの和）＝（3，3）（3，6）（4，5）（5，4）（6，3）（5，7）（6，6）（7，5）
の8パターン。これを次の❶❷❸の3つに場合分けして調べると
❶（上2ケタの和、下2ケタの和）＝（3，3）（3，6）（6，3）（6，6）のとき
4ケタの数はぜんぶで4×4＝16通りできる。だがこのうち6通り（グレー）は同じ数がとなりあうので条件に合うのは16－6＝10通り
❷（上2ケタの和、下2ケタの和）＝（4，5）（7，5）のとき
16通りのうち4通りは同じ数がとなりあうから 16－4＝12通り
❸（上2ケタの和、下2ケタの和）＝（5，4）（5，7）のとき
16通りのうち4通りは同じ数がとなりあうから 16－4＝12通り
よって条件に合う数は 10+12+12＝34個 
