以前の記事の続きです。
前半は中学入試でよく見かける基本問題、後半は応用問題となっています。
4けたの整数(函館ラサール数2023第2次)
⑴ 1、2、3、4の4つの数字をすべて使ってできる4けたの整数はいくつありますか。
千の位の選び方が4通り、百の位が残った3通り、十の位が残った2通り、一の位が残った1通りで
4×3×2×1=24個
⑵ 0、1、2、3の4つの数字をすべて使ってできる4けたの整数はいくつありますか。
千の位の選び方が3通り、百の位が残った3通り、十の位が残った2通り、一の位が残った1通りで
3×3×2×1=18個
⑶ 0、1、2、3、4の5つの数字を使って、4けたの整数をつくります。ちょうど2種類の数字だけを使ってできる整数はいくつありますか。ただし、同じ数字を何回使ってもよいですが、同じ数字がとなり合ってはいけません。
まず「同じ数字を何回使ってもよい」という条件だが「同じ数字がとなり合っては」いけないので同じ数字が使えるのは最大2回まで。とすると結局2種類の数を2回ずつとなり合わないように使うこととなる。
1、どの2つの数を選ぶかで 5×4÷2=10通り
2、選んだ2つの数(A、Bとする)のおき方は次のようにそれぞれ2通りあるから 10×2=20通り
3,ここには0が千の位にくるもの4通り(0101、0202、0303、0404)も数えているのでこれを引いて
20-4=16個
⑷ 1、2、3、4の4つの数字を使って、4けたの整数をつくります。3の倍数はいくつありますか。ただし、同じ数字を何回使ってもよいですが、同じ数字がとなり合ってはいけません。
小問⑶で見たように同じ数字が使えるのは最大2回までなのでこの4けたの数が「3の倍数」のとき(各ケタの数の和も3の倍数だから)各ケタの数の和は6、9、12のどれか。
そこで考えやすいように上2ケタ(千の位と百の位)と下2ケタ(十の位と一の位)のペアで考える。すると全体の和が6、9、12になる組合せは
(上2ケタの和、下2ケタの和)=(3,3)(3,6)(4,5)(5,4)(6,3)(5,7)(6,6)(7,5)
の8パターン。これを次の❶❷❸の3つに場合分けして調べると
❶(上2ケタの和、下2ケタの和)=(3,3)(3,6)(6,3)(6,6)のとき
4ケタの数はぜんぶで4×4=16通りできる。だがこのうち6通り(グレー)は同じ数がとなりあうので条件に合うのは16-6=10通り
❷(上2ケタの和、下2ケタの和)=(4,5)(7,5)のとき
16通りのうち4通りは同じ数がとなりあうから 16-4=12通り
❸(上2ケタの和、下2ケタの和)=(5,4)(5,7)のとき
16通りのうち4通りは同じ数がとなりあうから 16-4=12通り
よって条件に合う数は 10+12+12=34個