以前の記事の続きです。
回転体の体積を求める問題の第7弾です。
回転させる形がバラバラ（日本大学中2023）
右の図のような1辺が1cmの正方形が集まった図形において、ある直線を軸として1回転させ、▩色の部分が通過してできる立体をつくります。 このとき、次の各問いに答えなさい。 ただし、円周率は3.14とします。
⑴ 直線ABを軸とすると、立体の体積は何cmですか。
いまの形（下図①）は②や③のように変えても直線ABを軸として回転させたときの立体の形は変わらない。
そこで③の形で考えるとできあがる立体は大きい円柱（半径3㎝、高さ6㎝）から小さい円柱（半径2㎝、高さ4㎝）を引いた形だから
3×3×3.14×6－2×2×3.14×4＝(54－16)×3.14＝38×3.14＝119.32㎤
⑵ 直線CDを軸とすると、立体の体積は何cmですか。
いまの形（下図①）は②のように変えても直線CDを軸として回転させたときの立体の形は変わらない。
そこで②の形で考えるとできあがる立体は半径5㎝の円柱2つと半径4㎝の円柱1つ（高さはどちらも1㎝）だから
5×5×3.14×1×2+4×4×3.14×1＝66×3.14＝207.24㎤
立体図形の回転体① （東京都市大学付属2023第2回）
下の図のように1辺が5cmの立方体が8個すき間なく重なってできた立体Sがあります。円周率を3.14として、あとの問いに答えなさい。
問1 この立体Sを、図の点Aと点Bを結んだ直線を軸にして1回転させたとき、できた立体の体積は何㎥ですか。
立体Sを直線ABを軸にして1回転させてできる立体とは下図の長方形（青）を回転させた立体を考えればよい。
これを回転させると底面がAEを半径とする円で高さがABの円柱になるからその体積は AE×AE×3.14×AB で求められる。
そしてAEの長さはわからないがAE×AEなら
AE×AE÷2＝5×5＝25 より AE×AE＝50㎠
とわかっている。
よって 50×3.14×10＝1570㎤
問2 この立体Sを、図の3点C、D、Eを通る平面で2つに切り分け、体積が小さい方の立体を、点Aと点Bを結んだ直線を軸にして1回転させます。このとき、できた立体の体積は何㎥ですか。
「体積が小さい方の立体」とは次の青い三角柱のこと。これを1回転させてできる立体とは直角三角形（黒）を回転させた立体を考えればよい。
これを回転させると①底面がAEを半径とする円で高さがABの円柱から②これにすっぽりおさまる円すい（その体積は①×⅓）を取り除いた立体になるからその体積は AE×AE×3.14×AB×⅔ で求められる。
よって求める体積は
50×3.14×10×⅔＝³¹⁴⁰⁄₃㎤
立体図形の回転体②（高輪中2023）
図1は、対角線の長さが2cmの正方形を底面とする、高さが3cmの直方体①、②、③、④、⑤の計5個を組み合わせた立体です。次の各問いに答えなさい。
⑴ 図1の立体の体積は何㎤ですか。
直方体①は、底面積が2×2÷2＝2㎠、高さが3㎝だからその体積は 2×3＝6㎤。
これと同じ体積のものが5コあるから 30㎤
⑵ 図2のように、図1の立体を2点A、Bを通る直線𝓵のまわりに1回転させました。できた立体の体積は何㎤ですか。
下図にある長方形（底辺は直方体①と③の底面の正方形の対角線の和で4㎝、高さはABで3㎝）を回転させた立体と考えればよい
よって 4×4×3.14×3＝150.72㎤
⑶ 図3のように、図2の立体から直方体③、④、⑤の計3個を取り除き、直線𝓵のまわりに1回転させました。できた立体の体積は何㎤ですか。
回転してできる立体の底面は次のようなドーナツ型（青）になっている。
内側の白い円の半径は直方体③の底面の正方形の1辺の長さ。その長さはわからないがこの正方形の面積なら 2×2÷2＝2㎠ とわかっているから、これを底面とする円柱の体積は
2㎠×3.14×3㎝＝18.84㎤
よって全体の大きい円を底面とする円柱の体積は150.72㎤（小問⑵）だったから
150.72－18.84＝131.88㎤ 
