以前の記事の続きです。
今年の入試問題から立体切断の第4弾です。
表面積の差（東洋大学京北2023）
右の図は、すべての辺の長さが8cmの三角柱です。この三角柱を3点A、E、Fを通る平面で切って、2つの立体に分けるとき、その2つの立体の表面積の差を求めなさい。
下の三角柱（正三角形DEFを底面とする）と上の四角柱（正方形BCFEを底面とする）を比べると
- 三角柱の表面積＝△ADE+△ADF+△DEF+△AEF
- 四角柱の表面積＝△ABE+△ACF+△ABC+△AEF+正方形BCFE
ここで△ADE＝△ABE、△ADF＝△ACF、△DEF＝△ABCだから、2つの立体の表面積の差は正方形BCFEの面積分となり
8×8＝64㎠
切り口の面積（明治大学付属中野八王子2023第2回）
右の図は、同じ大きさの4個の正三角形でつくった三角すいを底面に平行な平面で切ってできた立体です。切りロの面積と底面の面積の比は2：5です。この立体の表面積が176㎠のとき、切り口の面積は何㎠ですか。
「切りロの面積と底面の面積の比は2：5」より切り口の面積を②、底面の面積を⑤とすると、3つある側面の面積はすべて③となる。
展開図を書くと次の通り。
これらを合計すると②+③×3+⑤＝⑯
よって「この立体の表面積が176㎠」だから⑯＝176より、切り口の面積②は
176÷16×2＝22㎠
切断された残りの体積（昭和学院秀英2023）
1辺が6cmである立方体の上に、1辺が3cmである立方体を図のように角をそろえてくっつけた立体を考えます。この立体を3点B、C、Dを通るような平面で切断しました。点Aを含む方の立体の体積は▢㎤になります。
「1辺が6cmである立方体」を「下の立方体」、「1辺が3cmである立方体」を「上の立方体」という。
Dを通るBCと平行な線（①）とBを通るDCと平行な線（②）を考える。また下の立方体の底面にある4つの頂点を次のようにE、F、G、Hとする。
このとき①②が交わる点をP、EFをのばした線と②が交わる点をQ、EGをのばした線と①が交わる点をRとすると「3点B、C、Dを通るような平面で切断」することは三角形PQRで切断するのと同じことだから（三角形PQRは下の立方体とちょうど1点Gで交わるので）その切り口は大小の正三角形が逆向きにつながった形となる。そして
❶上の立方体に注目すると、
- その体積は3×3×3＝27㎤
- ここから切りとられるのは三角すいでその体積は 3×3÷2×3÷3＝4.5㎤
だから残る立体の体積は 27－4.5＝22.5㎤
❷下の立方体のうち残る立体は❶で残る立体と相似形（相似比1：2）だから体積比は1：8。とすると残る立体の体積は 22.5×8＝180㎤
よって「点Aを含む方の立体の体積」は
❶+❷＝22.5+180＝202.5㎤ 
