以前の記事の続きです。
サイコロを使ったすごろく問題の第4弾です。
下のような手順でコマを動かしていきます。
手順
① Aにコマを新しく1個置きます。
② 1個のさいころをふって出た目の分だけ、新しく置いたコマを A→B→C→Dと動かします。ただし、4と5と6の目が出たときはコマを動かしません。
③ 移動した後はその場所にコマをそのまま置いておきます。
この手順①〜③を1回の操作とします。
このとき、次の問いに答えなさい。（関西大学北陽中2023）
⑴ 2回の操作を行った後に、頂点Aにコマがある目の出方は何通りか答えなさい。
頂点Aにコマがあるのは「4と5と6の目が出たとき」。とすると「2回の操作を行った後に、頂点Aにコマがある」ためには1回めか2回めの少なくとも1つの操作で4か5か6の目が出ればよい。
そこで余事象の考え方で❶2回とも1か2か3の目が出る出方をまず求め、❷これを全体の場合の数から引く。
- 1回めに1か2か3の目が出る出方は3通り、2回めも同じだから、2回とも1か2か3の目が出る出方は3×3＝9通り
- 全体の場合の数は6×6＝36通り
よって求める目の出方は 36－9＝27通り
⑵ 3回の操作を行った後、頂点Aにコマが2個以上ある目の出方は何通りか答えなさい。
❶頂点Aにコマが2個ある場合と❷頂点Aにコマが3個ある場合とが考えられる。
1回めに4か5か6、2回めに4か5か6、3回めに1か2か3のどれかが出ることを（456，456，123）のように書くものとすると
❶頂点Aにコマが2個ある場合…次の合計で81通り
- （456，456，123）の目の出方が3×3×3＝27通り
- （456，123，456）の目の出方が27通り
- （123，456，456）の目の出方が27通り
❷頂点Aにコマが3個ある場合…（456，456，456）という目の出方だけなので 3×3×3＝27通り
よって（❶❷は同時に起こらないから）ぜんぶで
81＋27＝108通り
⑶ 4回の操作を行った後、すべての頂点に1個ずつコマがある目の出方は何通りあるか答えなさい。
1回めに1が、2回めに2が、3回めに3が出て、4回めに4、5、6のどれかが出ることを（1，2，3，456）と書くものとすると
- （1，2，3，456）の目の出方が3通り
- （1，2，3，456）を並びかえた目の出方はぜんぶ「すべての頂点に1個ずつコマがある目の出方」になるからこの並びかえを考えると 4×3×2×1＝24通り
よって（❶❷は同時に起こるから）
3×24＝72通り 
