以前の記事の続きです。
今年出されたカードで整数をつくる問題です。使うカードは2枚だけなので簡単そうなのにそうでもないという問題です。
何枚かのカードがあり、そのカードから2枚を取り出し、取り出した2枚のカードを左から順に並べ数を作ります。
例えば、12、2の順で取り出したときは122、
2、10の順で取り出したときは210、
21、11の順で取り出したときは2111です。
また、0、12の順に取り出したときは012となりますが、これは最初の0をとって、12という数を作ったと考えます。（開智日本橋2023）
⑴ 8枚のカード1、2、10、11、12、20、21、22があります。このとき、できる数は何通りありますか。
できる数のケタ数で場合分けをすると
- 2ケタの数…「2枚のカード」で2ケタを作るには1のカードと2のカードを1枚ずつ使うしかなく12か21の2通り
- 3ケタの数…10、11、12、20、21、22の6枚のどれかを百の位と十の位として使うとき一の位は1か2となり 6×2＝12通り。また1か2のどちらかを百の位として使うとき一の位0の数があらたに4通りできる（110、120、210、220）。合計して 12＋4＝16通り
- 4ケタの数…10、11、12、20、21、22の6枚から2枚を選んで並べる並べ方なので 6×5＝30通り
よって 2＋16＋30＝48通り
⑵ 9枚のカード0、1、2、10、11、12、20、21、22があります。このとき、できる数は何通りありますか。
同じくケタ数で場合分けをすると
- 1ケタの数…0のカードを十の位に使うことで「2枚のカード」で1ケタを作れる。このときできる数は1（01）と2（02）の2通り
- 2ケタの数…0を百の位に使うことで、10、11、12、20、21、22の6枚はそのまま2ケタの数となり6通り（なお、0、1、2の3枚のうち2枚でできる2ケタの数10、12、20、21はすべてこの6通りと重なる）
- 3ケタの数…10、11、12、20、21、22の6枚を百の位と十の位として使うとき一の位は0か1か2となり 6×3＝18通り（なお1か2を百の位として使うときでもこれと異なる数があらわれることはない）
- 4ケタの数…小問⑴とかわらず 6×5＝30通り
よって 2＋6＋18＋30＝56通り
⑶ 16枚のカード0、1、2、3、10、11、12、13、20、21、22、23、30、31、32、33があります。このとき、できる数は何通りありますか。
同じくケタ数で場合分けをすると
- 1ケタの数…0を十の位に使うことでできる数は1（01）、2（02）、3（03）の3通り
- 2ケタの数…0を百の位に使うことで、10、11、12、13、20、21、22、23、30、31、32、33の12枚はそのまま2ケタの数となり12通り（なお、0、1、2、3の4枚のうち2枚でできる2ケタの数10、12、13、20、21、23、30、31、32はすべてこの12通りと重なる）
- 3ケタの数…小問⑵で使った表と比べると、横が6列→12列にふえ、タテが3段→4段にふえるから 12×4＝48通り（なお1、2、3を百の位として使うときでもこれと異なる数があらわれることはない）
- 4ケタの数…10、11、12、13、20、21、22、23、30、31、32、33の12枚から2枚を選んで並べる並べ方なので 12×11＝132通り
よって 3＋12＋48＋132＝195通り 
