以前の記事の続きです。
今年の入試問題から平均算の第2弾です。
その1（慶應義塾中等部2023）
太郎君が今までに受けた□回のテストの平均点は77点でした。今回のテストで38点をとったので、平均点は3点下がりました。
天びん図を書く。
- 天びんの右は「太郎君が今までに受けた□回のテストの平均点は77点」より、腕のめもりが点数の77、おもりが回数の□
- 天びんの左は「今回のテストで38点」より、腕のめもりが点数の38、おもりが回数の1（今回1回だけの点数なので）
- 今回のテストで「平均点は3点下がり」74点となったからこれを支点に天びんはつり合う
腕の長さが36：3＝12：1なのでおもりの重さはその逆比の1：12
よって77点というのはこれまで12回の平均点とわかり□＝12
その2（大妻多摩2023）
ある商品を作るのに、下の表のように費用がかかります。例えば、この商品を12個作るときの1個あたりの平均の値段は (300×10＋240×2)÷12＝290 より290円となります。このとき、次の問いに答えなさい。
⑴ この商品を50個作るときの1個あたりの平均の値段を答えなさい。
表より合計の値段を出していくと
- 1個目から10個目までの10コは単価300円→300×10＝3000円
- 11個目から20個目までの10コは単価240円→240×10＝2400円
- 21個目から50個目までの30コは単価200円→200×30＝6000円
よって (3000＋2400＋6000)÷50＝228円
⑵ 1個あたりの平均の値段が234円以下となるには、何個以上作ればよいですか。
小問⑴より
- 最初の20コは3000＋2400＝5400円。このとき平均の値段は 5400÷20＝270円
- 50コ作ると平均の単価は228円に下がるから「1個あたりの平均の値段が234円以下」となるのは21～49コの間のどこかにある
天びん図を書いて平均の値段がちょうど234円となるところを見つける。
- 天びんの右は最初の20コの平均の値段270円
- 天びんの左は21コめからの□コの単価200円
- このとき234円を支点としてつり合う
腕の長さが34：36＝17：18なのでおもりの重さはその逆比の18：17
比例式をつくると 18：17＝□：20 となり
□＝18×20÷17＝21.1…
よってあと22コ以上作れば天びんの左が重くなって支点は左にずれる（234円以下になる）から最初の20コと合わせて42個以上
その3（攻玉社2023）
0⃣、2⃣、4⃣、6⃣、8⃣の5枚のカードがあります。このカードを並べて3桁の数を作るとき、作ることができるすべての数の平均は□です。
ケタごとに合計と平均を計算していく。
百の位
- まず「2XX」となる数字を考えると（十の位が4通り、一の位が残り3通りあるから）4×3＝12コある。同じように「4XX」「6XX」「8XX」もそれぞれ12コずつある
- とすると百の位の合計は24000（＝200×12＋400×12＋600×12＋800×12）
- 個数はぜんぶで48コ（＝12×4）だから百の位の平均は500（＝24000÷48）
十の位
- 「X2X」となる数字は（百の位が3通り、一の位が残り3通りあるから）3×3＝9コある。同じように「X4X」「X6X」「X8X」もそれぞれ9コずつある。これと違って「X0X」だけは（百の位が4通り、一の位が3通りあるから）4×3＝12コある
- とすると十の位の合計は1800（＝20×9＋40×9＋60×9＋80×9）
- 個数はぜんぶで48コ（＝9×4＋12）だから十の位の平均は37.5（＝1800÷48）
一の位
- 「XX2」となる数字は（百の位が3通り、十の位が残り3通りあるから）3×3＝9コある。同じように「XX4」「XX6」「XX8」もそれぞれ9コずつある。これと違って「XX0」だけは（百の位が4通り、一の位が3通りあるから）4×3＝12コある
- とすると一の位の合計は180（＝2×9＋4×9＋6×9＋8×9）
- 個数はぜんぶで48コだから一の位の平均は3.75（＝180÷48）
よってすべての数の平均は 500＋37.5＋3.75＝541.25 
