以前の記事の続きです。
今年の入試問題から、今回は周期算を取り上げます。
A、B、C、D、Eの5つのランプがあります。それぞれのランプにはスイッチがついていて、一度スイッチを押すとランプは点灯し、もう一度押すとランプは消えます。はじめ、すべてのランプは消えています。このスイッチをA→B→C→D→E→D→C→B→A→B→C→…の順に押します。例えば、10回目に押したスイッチはBで、そのときBとEのランプだけが点灯しています。（女子学院2023）
⑴ スイッチを▢回押したとき、消えていたCのランプは10回目の点灯をします。
スイッチの押し方は「ABCDEDCB」という長さ8の文字列をくり返すのがわかる。この8文字列を押す途中でCは1回点灯して1回消えるから、8×9＝72回目のスイッチ(B)を押し終わったときCは（9回点灯したあと）9回消えた状態にある。
よって、このあと3回「ABC」と押すとCは10回めの点灯をするから 72+3＝75回
⑵ スイッチを150回押したとき、点灯しているランプをすべてあげると▢です。
ここまででわかったのは偶数回出てくる文字は消えており、奇数回出てくる文字は点灯していること。
くり返す1周期「ABCDEDCB」の8文字列で見ると、B、C、Dは2回ずつ出てくるが、AとEは1回しか出てこない。しかし次のように16文字列で考えるとぜんぶの文字が偶数回出てくる（AとEは2回、B、C、Dは4回ずつ）
ここからスイッチを16回押すごとにランプがすべて消えるのがわかり、点灯しているランプを見つけるには16で割ったあまりだけ見ればよいとわかる。
そこで150÷16＝9あまり6より「スイッチを150回押したとき」は6回スイッチを押したのと同じ状態だとわかるから、最初6つの並び「ABCDED」だけ見ると、点灯しているのは（奇数回出てくる）ABCE
⑶ スイッチを200回押すまでの間に、点灯しているランプがBとCだけになるのは全部で▢回あります。
「点灯しているランプがBとCだけになる」のはどういうときかまず考えると次のように14回押したとき（BとCだけ奇数回あらわれている）
これは2周期＝16文字列で見ても同じく1回だけしか出てこないということだから 200÷16＝12あまり8より「点灯しているランプがBとCだけになる」状態はひとまず12回ある。
つぎに「あまり8」を考えると上の⑧で終わるが、この8文字で「点灯しているランプがBとCだけになる」状態になることはない。
よって全部で12回 
