以前の記事の続きです。
今年の入試問題から、少し手ごわい場合の数の大問になります。
1、2、3、4、5を使ってできる9けたの整数のうち、となりあう位の数の差が2になるものを考えます。（高槻中2023B）
⑴ 最高位が1である数は何個ありますか。
「となりあう位の数の差が2」の「9けたの整数」で「最高位が1」なら必ず3が1つおきにあらわれるから「13■3■3■3■」とあらわせる。
このとき4つの■はすべて1か5の2通りなので 2×2×2×2＝16個
⑵ このような数は全部で何個ありますか。求め方を式や言葉を使って書くこと。
小問⑴をヒントに最高位の数で場合分けすると
❶最高位が1のとき…16個（小問⑴）
❷最高位が2のとき…242424242の1個
❸最高位が3のとき…「3■3■3■3■3」
このように奇数けたはすべて3になる。4つの■はすべて1か5の2通りなので 2×2×2×2＝16個
❹最高位が4のとき…424242424の1個
❺最高位が5のとき…「53■3■3■3■」
このように偶数けたはすべて3になる。4つの■はすべて1か5の2通りなので16個
以上の合計で 16×3＋2＝50個
⑶ 3の倍数は何個ありますか。
3の倍数はその各けたの数の和も3の倍数になることを利用する。小問⑵で使った場合分けをここでも使うと
❶最高位が1のとき…次の5個
「13■3■3■3■」のように偶数けたはすべて3なので、あとは奇数けたの和が3の倍数になればよい。つまり「1＋■＋■＋■＋■」（＝Aとする）が3の倍数になればよい。■は1か5なので
- ①■が4つとも1のとき…A＝5で×
- ②3つの■が1のとき…①より4ふえるからA＝9で3の倍数
- ③2つの■が1のとき…②より4ふえるからA＝13で×
- ④1つの■が1のとき…A＝17で×
- ⑤■が4つとも5のとき…A＝21で3の倍数
条件に合うのがわかった②と⑤の個数をそれぞれ求めると
- ②…4つのうち3つの■が1となる並べ方は4通り（5551、5515、5155、1555）で4個
- ⑤…■が4つとも5の並べ方は5555の1通りなので1個
❷最高位が2のとき…242424242は3の倍数ではない
❸最高位が3のとき…次の6個
「3■3■3■3■3」のように奇数けたはすべて3なので、あとは偶数けたの和が3の倍数になればよい。つまり「■＋■＋■＋■」（＝Bとする）が3の倍数になればよい。■は1か5なので
- ①■が4つとも1のとき…B＝4で×
- ②3つの■が1のとき…①より4ふえるからB＝8で×
- ③2つの■が1のとき…②より4ふえるからB＝12で3の倍数
- ④1つの■が1のとき…B＝16で×
- ⑤■が4つとも5のとき…B＝20で×
条件に合うのがわかった③の個数を求めると、4つのうち2つの■が1となる並べ方は6通り（5511、5151、5115、1551、1515、1155）で6個
❹最高位が4のとき…424242424は3の倍数ではない
❺最高位が5のとき…次の5個
「53■3■3■3■」のように偶数けたはすべて3なので、あとは奇数けたの和が3の倍数になればよい。つまり「5＋■＋■＋■＋■」（＝Cとする）が3の倍数になればよい。■は1か5なので
- ①■が4つとも1のとき…C＝9で3の倍数
- ②3つの■が1のとき…①より4ふえるからC=13で×
- ③2つの■が1のとき…②より4ふえるからC=17で×
- ④1つの■が1のとき…C＝21で3の倍数
- ⑤■が4つとも5のとき…C＝25で×
条件に合うのがわかった①と④の個数を求めると
- ①…■が4つとも1になるときの並べ方は1111の1通りで1個
- ④…4つのうち1つの■が1となる並べ方は4通り（5551、5515、5155、1555）で4個
以上を合計して 5＋6＋5＝16個 
