以前の記事の続きです。
今年の入試問題で出された倍数算4問を今回取り上げます。
その1（神戸女学院2023）
お祭りでジュースとお茶を売ったところ、1日目に売れたジュースとお茶の本数の比は11：8でした。2日目に売れた本数は、1日目よりジュースが10本少なく、お茶が5本多かったので、2日目に売れたジュースとお茶の本数の比は9：7でした。1日目に売れたジュースは何本でしたか。
「1日目に売れたジュースとお茶の本数の比は11：8」より1日目に売れたジュースの本数を⑪本、お茶の本数を⑧本とする。
このとき「2日目に売れた本数は、1日目よりジュースが10本少なく、お茶が5本多かった」ので2日目に売れたのはジュースが(⑪－10)本、お茶が(⑧+5)本となる。これが9：7なので
(⑪－10)：(⑧+5)＝9：7
ここで内項の積＝外項の積だから
(⑪－10)×7＝(⑧+5)×9 より 
－70＝
+45
⑤＝115 より ①＝23本
よって、1日目に売れたジュース⑪は 23×11＝253本
その2（大妻多摩2023午後）
花子さんと弟が現在持っているお金の比は8：5です。2人はケーキ屋に行って3：1の比でお金を出し合って1つのケーキを買ったところ、2人の残金はともに2100円になりました。ケーキの金額はいくらですか。
比例式の中に2種類の記号（○や□）が出てこないように残金から逆に考えるとうまくいく問題です。
「2人はケーキ屋に行って3：1の比でお金を出し合って1つのケーキを買った」から花子さんがケーキに使った金額を③、弟が使った金額を①とする。これに残った金額「2人の残金はともに2100円」を足すと現在の金額になる。これが8：5なので
(③+2100)：(①+2100)＝8：5
内項の積＝外項の積より ⑧+16800＝⑮+10500
⑦＝6300 なので ①＝900円
よって、ケーキの金額④は 900×4＝3600円
その3（吉祥女子2023）
2つの貯金箱A、Bにそれぞれお金が入っています。Bに入っている金額はAに入っている金額の¾です。Aに入っている金額の⅗を使い、Bには新たに700円を入れました。その後、Bに入っている金額の⁷⁄₂₀を取り出してAに入れたところ、AとBに入っている金額は同じになりました。
最初にAに入っていた金額は何円ですか。
これも途中の出し入れから考えるとうまくいく問題です。
「Bに入っている⁷⁄₂₀を取り出してAに入れたところ、AとBに入っている金額は同じに」なったのでBから⁷⁄₂₀を取り出す直前の金額を⑳とすると、Aに移した金額は⑦、Bに残った金額は⑬、Aに残った金額も⑬となる（表の青数字の部分）
とするとBから⑦をもらう前のAの金額が⑥だったこと、またAのはじめの金額は⑥÷⅖＝⑮だったことがわかる。
またBのはじめの金額は⑳－700（700円を入れる前のことなので）
そこでA、Bのはじめの金額で比例式をつくると
⑮：(⑳－700)＝4：3 ㉟＝2800 より ①＝80円
よって、最初にAに入っていた金額⑮は 80×15＝1200円
その4（立教女学院2023）
姉と妹が一緒に出かけました。まず、それぞれが同じキーホルダーを［①］円で買うと、姉は所持金がはじめの6割に、妹は4割になりました。次に、姉が1つ225円の飲み物を2人分買い、最後に、2人で家族へのおみやげを買いました。おみやげについて、それぞれの支払いの割合は、そのときの2人の所持金の比の割合です。残金が姉は300円、妹は200円のとき、2人がはじめに持っていた所持金は、姉が［②］円、妹が［③］円です。
姉のはじめの所持金㋐、妹の所持金㋑、キーホルダーの値段㋖の3つの関係についてまず考えると
- 姉がキーホルダーを買ったら「所持金がはじめの6割に」なったから ㋐：㋖＝10：4＝15：6
- 妹がキーホルダーを買ったら所持金がはじめの「4割に」なったから ㋑：㋖＝10：6
- 上を連比にすると ㋐：㋑：㋖＝15：10：6
この結果から姉のはじめの所持金を⑮円、妹の所持金を⑩円、キーホルダーの値段を⑥円とおく。
するとキーホルダーと飲み物を買ったところまでの途中の残金は姉が(⑨－450)円、妹が④となる。
ところで比には「同じ比どうしをたしても（ひいても）比はかわらない」という性質（加比の理）があるから「おみやげについて、それぞれの支払いの割合は、そのときの2人の所持金の比の割合」だったときその割合は「残金が姉は300円、妹は200円」と同じ割合の3：2だったとわかる。
とするとおみやげに出したお金も途中の残金も3：2だから
(⑨－450)：④＝3：2 より ⑱－900＝⑫ なので ①＝150円
よって
キーホルダー⑥は 150×6＝900円
姉のはじめの所持金⑮は 150×15＝2250円
妹のはじめの所持金⑩は1500円 
