以前の記事の続きです。
今年出題された場合の数の入試問題の第4弾になります。
その1（開智未来2023）
「か」、「た」、「た」、「た」、「き」（肩たたき）の5文字から3文字を選んで並べる方法は□通りです。
同じ文字がある「た」を何コ使うかで場合分けをすると
- 「た」を3コ使うとき…「たたた」の1通り
- 「た」を2コ使うとき…「■たた」「た■た」「たた■」の■に「か」「き」のどちらかを入れる入れ方なので3×2＝6通り
- 「た」を1コ使うとき…「■■た」「■た■」「た■■」の■に「か」「き」の2つを入れる入れ方なので（逆もあるから）3×2＝6通り
「た」を使わない並べ方はないので、以上の合計で13通り
その2（久留米大附設2023）
さいころを3回投げて、出た目を順にア、イ、ウとします。ア+イ+ウが6の倍数になるとき、ア、イ、ウの組は何通りありますか。
ア＋イがいくつのときでもこれと足すと6の倍数になるウが必ず1つだけある。よって（ア,イ）の目の出方と同じで 6×6＝36通り
その3（フェリス2023）
サイコロを3回振ります。1回目に出た目の数をA、2回目に出た目の数をB、3回目に出た目の数をCとします。
A×B×Cの値が偶数となるようなサイコロの目の出方は、［ア］通りあります。
A、B、Cのどれか1つでも偶数なら「A×B×Cの値が偶数となる」から、ぜんぶの目の出方から、3回とも奇数が出る目の出方を引くことで求められる。
3回とも奇数となるようなサイコロの目の出方は 3×3×3＝27通り。ぜんぶの目の出方は 6×6×6＝216通りあるから
216－27＝189通り
A×B×Cの値が8の倍数となるようなサイコロの目の出方は、［イ］通りあります。
カギとなる「4」が何回出るかで場合分けをすると（なお■は4以外の数字、②⑥は2か6、㋖は奇数をさす）
- 4が3回出るとき…（4，4，4）の1通り
- 4が2回出るとき…数の組合せは（4，4，■）でその並べ方は 5×3＝15通り
- 4が1回出るとき…組合せは❶（4，②⑥，②⑥）か❷（4，②⑥，㋖）かのどちらかで、❶は1×2×2＝4通り、❷は1×2×3＝6通り。数の並びまで考えると❶は数の並べかえが3通りあるから4×3＝12通り、❷は数の並べかえが3×2＝6通りあるから6×6＝36通り
- 4が出ないとき…（②⑥，②⑥，②⑥）の並べ方で2×2×2＝8通り
以上の合計で 1+15+12+36+8＝72通り
その4（獨協2023第4回）
4枚のカード1⃣、2⃣、3⃣、4⃣があります。この4枚のカードをすべて使い、分母と分子がそれぞれ2桁の分数を作ります。＜例＞のようにカードを置いた場合は⁴¹⁄₃₂という分数を表します。このとき、次の問いに答えなさい。
⑴ 最も大きな分数はいくつですか。
「最も大きな分数」をつくるには分子を最大、分母を最小にすればよいので ⁴³⁄₁₂
⑵ 約分できない分数は何個作ることができますか。
まずぜんぶの分数の作り方は、4つの場所に4枚のカードを並べる並べ方なので 4×3×2×1＝24通り
このうち約分できるものを考えると
- 2で約分できるか…1の位が分母、分子とも偶数なら2で約分できる。これは①分母が4で分子が2のときと②分母が2で分子が4のときがある。①は残りの3⃣4⃣のカードの並べ方なので2通り、②も同じく2通りで合計4通り
- 3で約分できるか…分母、分子とも3の倍数なら3で約分できる。そのためには分母の2数の和が3の倍数で、分子の2数の和も3の倍数であることが必要だが、1＋2＋3＋4＝10なのでこれはありえない
- 5以上の素数（5、7、11、13…）で約分できるか…分母か分子のどちらかが約分できることはあるが両方とも約分できるものはない
よって、ぜんぶの分数24個から約分できる分数4個を引いて、約分できない分数の個数は 20個 
