以前の記事の続きです。
今年の入試問題から、三角形の面積を題材とする問題でいろいろ応用がききそうなもの4題を今回取り上げます。
その1（浦和明の星2023）
右の図は、直角三角形ABCの辺ABが辺BCに重なるように折ったものです。このとき、斜線部分の面積を求めなさい。
次のように、折り返し線と辺ACとが重なる点をP、折り返したときにAが辺BCと重なる点をA’とする。
このときA’は（AB＝3㎝なので）BCを3：1に分ける点になっている。となると辺の比と面積比の関係より
△PBA’：△PA’C＝3：1
また△PBAの面積も同じく3だから、色のついた部分の面積は△ABCの⅐
ここで△ABCの面積は4×3÷2＝6㎠なので、色のついた部分の面積は
6×⅐＝⁶⁄₇㎠
その2（駒場東邦2023）
図のように、1辺の長さが1cmの正方形を6個並べ、3点A、B、Cをとります。AとB、BとCをそれぞれ結び、それぞれ3等分した点をとり、結びます。ここで、ABを3等分した点のうち、Bに近いほうをDとします。
① 三角形BCDの面積を求めなさい。
AとCの間に補助線を引いて三角形ABC（下図の青）をつくると、△BCD（下図の赤）の面積は△ABCの面積の⅓（辺の比と面積比の関係より）
ここで△ABCの面積は全体の長方形からまわりの3つの直角三角形を引くことで求められるから、
△ABC=3×2－2×1÷2×2－3×1÷2＝2.5
よって三角形BCDの面積は △ABC×⅓＝⅚㎠
② 斜線部分の面積を求めなさい。
DからACと平行に補助線を引き、これがBCと交わる点をPとする。
DP＝2とするとAC=6となり、この2つにはさまれた辺の長さは次のように1、2、1となる（三角形の相似より）
ここから斜線部分は黄色の三角形と合同だとわかるから、黄色の三角形の面積を求めればよい。
そこで△DBPに注目する。黄色の三角形は、底辺は△DBPと共通で、高さは△DBPの½だから、面積も△DBPの½。
そして△DBPは△DBCの⅓（辺の比と面積比の関係より）なので斜線部分の面積は
△DBC×⅓×½＝⅚×⅙＝⁵⁄₃₆㎠
その3（須磨学園2023第2回）
A地点から、東へ3m、南へ5m進んだ所をB地点とします。B地点から、西へ6m、南へ4m進んだ所をC地点とするとき、A、B、C地点を線で結んでできる三角形の面積は［ ］㎡です。
簡単に図を書いてみる。
全体の四角形から直角三角形3つを引く形で求める。
❶全体の四角形…南北方向をタテ、東西方向を横と考えると タテ9ｍ×横6ｍ＝54㎡
❷左側（西側）の三角形…9ｍ×3ｍ÷2＝13.5㎡
❸右上（北東）の三角形…5ｍ×3ｍ÷2＝7.5㎡
❹右下（南東）の三角形…4ｍ×6ｍ÷2＝12㎡
よって
❶－❷－❸－❹＝54－13.5－7.5－12＝21㎡
その4（四天王寺2023）
下の図のような面積が30㎠の正方形ABCDがあります。E、Fはそれぞれ辺AB、ADのちょうどまん中の点です。また、BFとDEの交わった点をG、BFとCEの交わった点をHとします。
① BG: GFを求めなさい。
相似な三角形をつくるため、AEと平行な補助線FPを引く。
AE＝EB=➁とすると、△AEDと△FPDの相似（相似比2：1）より FP＝①
よって、EB：FP＝➁：①となっているから、△EBGと△PFGも相似比2：1の相似形とわかり BG：GF＝2：1
② BH : HFを求めなさい。
補助線FPをQまで伸ばす。
前の小問で使ったAE＝EB＝➁をここでも使うとDC＝④。FQはAEとDCのちょうど半分の長さなので③
よって、EB：FQ＝➁：③より△EBHと△FQHは相似比2：3の相似形となっているのがわかり、BH：HF＝2：3
③ 三角形CGHの面積を求めなさい。
BG：GF＝2：1（小問⑴）とBH：HF＝2：3（小問⑵）を比合わせすると
BH：HG：GF＝6：4：5
よって辺の比と面積比の関係より
△CGH＝△FBC×⁴⁄₁₅
ここで△FBCは四角形ABCDの面積のちょうど半分だから15㎠。
よって △CGH＝15㎠×⁴⁄₁₅＝4㎠ 
