以前の記事に関連する話です。
今回取り上げるのは「完全数」です。約数と関係するおもしろい数です。（小川洋子著 『博士の愛した数式』でも重要なアイテムとして登場します。）
問題文中でその正体が明かされている場合と明かされていない場合がある点はカプレカ数と一緒で、たとえば次のような出題例があります。
2ケタと3ケタの完全数（富士見丘中2022）
次の例のように、ある整数がその数をのぞくすべての約数をたした数に等しくなる数を「完全数」といいます。このとき、次の問いに答えなさい。
＜例＞
6の約数は、1、2、3、6で、1+2+3=6となり、6は完全数です。
また、8の約数は、1、2、4、8で、1+2+4=7となり、8をのぞくすべての約数をたした数が8にならないので、8は完全数ではありません。
⑴ 2けたの完全数を答えなさい。
素数は明らかに完全数ではない（素数は1とその数しか約数がないのでその数をのぞくと1になってしまう）のでそれ以外でさがしてみると
- 10…1+2+5＝8で×
- 12…1+2+3＋4+6＝16で×
- 14…1+2+7＝10で×
- 15…1+3+5＝9で×
- 16…1+2+4+8＝15で×
- 18…1+2+3+6+9＝21で×
- 20…1+2+4+5+10＝22で×
- 21…1+3+7＝11で×
- 22…1+2+11＝14で×
- 24…1+2+3+4+6+8+12＝36で×
- 25…1+5＝6で×
- 26…1+2+13＝16で×
- 27…1+3+9＝13で×
- 28…1+2+4+7+14＝28で〇
よって 28
奇数の完全数はまだ見つかっていないことを知識として知っているとグレーのところは省略できるので少しだけ早く正解にたどりつきます。
⑵ 496は完全数です。496の約数を調べて、完全数であることを確かめなさい。
496 の約数は1、2、4、8、16、31、62、124、248、496。
496をのぞくすべての約数をたすと
1+2+4+8+16+31+62+124+248=496
となるので496は完全数である。
1ケタの完全数は6だけ、2ケタの完全数は28だけ、3ケタの完全数は496だけであることがわかっています。
コンピュータの進化に伴い、2016年に49個目、2017年に50個目、2018年に51番目の完全数が見つかるなど、いまなお研究の途中にあるおもしろい分野です。
1ケタの完全数（栄東中2022）
1から10までの整数Aの約数のうち、A以外の約数の和を［A］とします。たとえばA＝8とすると、［8］＝1+2+4＝7となります。ただし、［1］＝0とします。このとき［A］＝Aとなる整数Aは□です。
6
概完全数（海城中2019）
整数ｎについて、ｎのｎを除く約数の和を [ｎ] で表すことにします。
例えば、6の6を除く約数は1、2、3なので、[6]=1+2+3=6です。また、[1]=0とします。
⑴ [1]、[2]、[3]、[4]、[5]、[6]、[7]、[8]、[9]、[10]の平均を求めなさい。
[1]=0、[2]=1、[3]=1、[4]=1+2＝3、[5]=1、[6]=1＋2＋3＝6、[7]=1、[8]=1+2+4＝7、[9]=1＋3＝4、[10]=1+2+5＝8
より、その和は1+1+3+1+6+1+7+4+8＝32。
よってこれらの平均は32÷10＝3.2
素数（2、3、7）だとこの和が1になるのは上述のとおり。また完全数に1足りない数を「概完全数」といい、この小問⑴より1、2、4、8が概完全数であるのがわかる。
これらが小問⑶のヒントになります。
⑵ [ｘ]=1となる整数ｘの中で、100に最も近い整数を求めなさい。
「 [ｘ]＝１となる整数」とは素数のことなので、100の前後で素数をさがすと97と101。
よって「最も近い整数」は101
⑶ 連続する整数のうち、小さい方をｘ、大きい方をｙとして、[ｘ] + [ｙ]=ｙとなるような整数ｙを考えます。例えば、ｘとして7、ｙとして8があります。このような整数ｙの中で、100以上150以下の整数を1つ求めなさい。
絶対にヒントがあるはずだと小問⑴、小問⑵をあらためてよく見てみる。
すると「連続する整数のうち…[ｘ] + [ｙ]=ｙとなるような整数ｙ」の例として「ｘとして7、ｙとして8」が問題文中にあげられているが、小問⑴をよく見るとそれ以外の例としてｘ＝3、ｙ＝4の並びがあるのがわかる（[ｘ]＝1、[ｙ]=3なので1+3＝4）。
これらの2つの共通点はｘが素数、ｙが2を何回かかけた数であること。
そこで、2を何回かかけた数を「100以上150以下の整数」からさがすと128（＝2⁷。概完全数）が見つかる。
つまり [128]＝1+2+4+8+16+32+64＝127
そしてその1つ前の127が素数になっていないかたしかめるとはたしかに素数で [127]＝1
よって、[127]+[128]=128となるから 128 
