以前の記事の続きです。
隣辺比（りんぺんひ）は平面図形だけでなく、立体図形で活躍する場面もあります。
たとえばこちらの問題。
立体図形の隣辺比①（大妻2021帰国）
右の図の三角柱ABC-DEFで、2点G、Hは辺DEを3等分する点で、Iは辺EFを2等分する点です。このとき、三角柱ABC-DEFと三角すいBHEIの体積の比を、最も簡単な整数の比で求めなさい。
「三角すいBHEIの体積」を△HEIを底面積とみて考える。
△DEFの面積を1とすると、隣辺比と面積比の関係より、
△DEF＝⅓×½＝⅙
高さは同じBEなので1倍。
よって、三角柱ABC-DEFの体積を1とすると、三角すいBHEIの体積は
⅙×1×⅓＝¹⁄₁₈
となるから「三角柱ABC-DEFと三角すいBHEIの体積の比」は18：1
立体図形の相似比と隣辺比②（明治大学付属明治2016）
右の図のような、すべての辺の長さが12㎝の三角すいABCDがあります。辺ABの真ん中の点をE、辺ACを2：1に分ける点をF、辺CDを1：3に分ける点をGとします。この三角すいABCDを3点E、F、Gを通る平面で切ったとき、辺BDと平面が交わる点をHとします。このとき、次の各問いに答えなさい。
⑴ DHの長さは何cmですか。
面ABC上の三角形の相似と面BCD上の三角形の相似を考える。
- △ABCのある平面上にEを対称の中心としてFに対応する点Pをとる。このとき△AEFと△EBPは合同なのでPB＝8㎝
- つぎにP、E、Fの延長線とBCの延長線とが交わる点Qをとる。このとき△PQBと△FQCは相似で相似比は2：1なのでQC＝12㎝
- また（このとき一直線上にある）Q、G、Hの延長線上にFGとPRが平行になるような点Rをとる。このとき△BQRと△CQGは相似で相似比は2：1なのでBR＝6㎝
ここまでを図にすると上のようになる。ここでGD＝9㎝より、△DGHと△BRH（黒の三角形2つ）は相似で相似比は9：6＝3：2となっているから、DH：BHも3：2。
よって DH＝BH×⅗＝12×⅗＝7.2㎝
⑵ 5つの点F、C、G、H、Bを頂点とする四角すいの体積と、三角すいABCDの体積の比を、もっとも簡単な整数の比で表しなさい。ただし、四角すい、三角すいの体積は、(底面積)×(高さ)÷3で求められます。
四角すいFCGHBの体積を求めるにあたり、四角形CGHBを底面積として考える。
ここで隣辺比と面積比の関係より、
△DBC：△DHG＝5×4：3×3＝20：9
なので、△BCDの面積を1とすると△DHG＝⁹⁄₂₀ となるから 四角形CGHB＝¹¹⁄₂₀。つまり底面積は三角すいABCDの底面積の¹¹⁄₂₀
一方、AF：FC＝2：1より、高さは三角すいABCDの高さの⅓
よって、四角すいFCGHBの体積は三角すいABCDの¹¹⁄₆₀（＝¹¹⁄₂₀×⅓）なので、求める体積の比は11：60
