以前の記事の続きです。
隣辺比と面積（国府台2020推薦）
下の図の三角形ABCは、AB＝ACの二等辺三角形です。三角形EMGの面積が8㎠のとき、三角形ABCの面積は▢㎠です。ただし、同じ印がついた線分の長さは等しいとします。
どうしても「8㎠」という情報に引きずられてまっ先にこれを使いたくなりますが（そのためか受験生正答率も20％以下だった（学校発表））これは最後に使います。
△ABCの面積を1とすると、隣辺比と面積比の関係より、
△AEG＝⅔×⅔＝⁴⁄₉ △BME＝△CGM＝½×⅓＝⅙
よって △EMG＝1－(⁴⁄₉+⅙+⅙)＝²⁄₉。
これが8㎠なので △ABC＝8㎠÷²⁄₉＝36㎠
隣辺比と「辺の比と面積比」（東邦大付東邦中2021）
下の図において、三角形ABCと三角形BDEの面積は等しく、AE＝2㎝、EB＝3㎝、BC＝4㎝です。また、辺ACと辺DEの交わる点をPとします。このとき、次の問いに答えなさい。
⑴ CDの長さを求めなさい。
隣辺比と面積比の関係よりAB×BC＝BE×BDなので
5×4＝3×BD BD＝²⁰⁄₃㎝
よって CD＝BD－BC＝²⁰⁄₃－4＝⁸⁄₃㎝
⑵ AP：PCの比を最も簡単な整数の比で求めなさい。
補助線BPを引く。△AEP＝②とすると△EBP＝③（辺の比と面積比の関係より）
また△ABC＝△BDEより、共通する四角形EBCPを引いても面積は等しい（過去記事「つけたし」参照）ので△PCD＝△AEP＝②
さらに辺の比と面積比の関係より、
BC：CD＝4：⁸⁄₃＝△PBC：②
内項の積＝外項の積より △PBC＝⑧÷⁸⁄₃＝③
あとは△APB＝⑤、△PCB＝③となっているから、辺の比と面積比の関係より
AP：PC＝5：3
相似比と隣辺比（明治大学付属明治2021）
右の図のように、平行四辺形ABCDがあります。
4点E、F、G、Hはそれぞれ辺AB、BC、CD、DA上にあり、AEの長さは4㎝、BFの長さは6㎝、CGの長さは10㎝、DHの長さは2㎝です。また、EFとGHは平行で、ACとFGは点Iで交わっています。三角形EBFと三角形ABCの面積の比が27：65のとき、次の各問いに答えなさい。
⑴ DGの長さは何㎝ですか。
「EFとGHは平行」だから、△EBFと△GDHは相似（3つの角が同じ）。その相似比はBF：DH＝3：1なので、BE＝③、DG＝①とおける。この差②が6㎝（＝CG－AE）だから ①＝3㎝。
よって DG=3㎝
⑵ CFの長さは何㎝ですか。
「三角形EBFと三角形ABCの面積の比が27：65」と辺の比と面積比の関係より
△EBF：△ABC＝(9×6)：(13×BC)＝27：65
内項の積＝外項の積より 13×27×BC＝54×65 BC＝10㎝
よって CF=4㎝
⑶ 平行四辺形ABCDの面積は三角形IFCの面積の何倍ですか。
いったん逆にして「△IFCの面積は平行四辺形ABCDの面積の何倍か」を考える。
❶△IFCの底辺(4㎝)は平行四辺形ABCDの底辺(10㎝）の²⁄₅倍
❷あとは高さが何倍になっているかわかればよい。それにはCI：AIの比を利用する。
CI：AIの求め方にはお決まりのステップがあり、FGの延長線とADの延長線とが交わる点をPとしてできる相似な三角形2組を順に使うと、
①△FCGと△PDGは相似で相似比10：3より DP＝4׳⁄₁₀＝1.2㎝
②△FCIと△PAIは相似で相似比4：11.2より CI：AI＝5：14
よって△IFCの高さは平行四辺形ABCDの高さの⁵⁄₁₉倍とわかる。
以上より、
△IFC＝平行四辺形ABCDײ⁄₅×⁵⁄₁₉÷2＝平行四辺形ABCD×¹⁄₁₉
と分かるから、平行四辺形ABCDの面積は三角形IFCの面積の19倍 
