以前の記事に関連する話です。
平面図形の問題では角度や面積を求めさせるものが多いですが、なかには長さや線分比を求めさせる問題もあります。演習量が手薄になりがちなところですが、出題されてもあわてることのないよう、代表的な問題パターンはしっかりとチェックしておきたいところです。
角度から辺の長さを求める（夙川中2022第3回）
下の図で、BC=3cm、CD=6cm、DE=2cm、FA=4cmです。このとき、ABの長さは□cmです。
図にある角度の情報から、辺EFを伸ばした線と辺BAを伸ばした線とは直角に交わること、しかもここに30°60°90°の三角形ができていることがわかる。
これと「DE=2㎝、FA＝4㎝」とから、DAに補助線を引くとEFと平行となる。また辺EDと辺ABも平行であること、したがって角DABが直角であることもわかる。
となると、辺DCを伸ばした線と辺ABを伸ばした線とが交わる点をPとすると、△PBCは（2つの角が60°より）正三角形なので、△DPA（青）も30°60°90°の三角形になっている。
よって、PB＝PC＝3㎝、PA：PD＝1：2より、AB＝1.5㎝
角度から線分比を求める（頌栄女子学院2018）
右の図で、AC：AD＝4：7のとき、BC：CDを求めなさい。
77°と26°という角度をどう使うかだが、足しても引いても美しい数字にはならない。もう少しいろいろやっていると 77°×2+26°＝180° という関係にあることに気づく。
そこで26°を頂点とする二等辺三角形（赤）ができるようにCから補助線を引いてみる（これと辺ADが交わる点をPとする）。
このときPCはABと平行（錯角が77°で等しい）だから、△DPCは△DABと相似な三角形。
そして「AC：AD＝4：7」よりAC＝④、AD＝⑦とすると、上のような長さの関係にあり、AP：PD＝④：③となっている。
よってBC：CDも 4：3
三角形の性質から線分の長さを求める（三田国際2020）
図1の三角形ABCは、辺の長さが3cm、4cm、5cmの直角三角形で、辺ABと直線CDは垂直です。
⑴ 直線CDの長さを求めなさい。
△ABCは3：4：5の直角三角形なので、これと相似な△CBDに注目するとCD：CB＝3：5。
よってCD＝4㎝×⅗＝2.4㎝
図2は、1辺が8cmの正方形と2つの半円を組み合わせた図形で、図のように直線EFがひかれています。
⑵ 直線EFの長さを求めなさい。
円（半円）を見たら円の中心と補助線を結ぶことをまず考えます。本問でもこれ（と小問⑴の誘導）が糸口となります。
右の半円の中心とFとを結ぶとその長さは4㎝。また正方形の中心とを結ぶとその長さも4㎝。となると次のような二等辺三角形ができている。
このとき下の図の青の三角形は3㎝、4㎝、5㎝の直角三角形になっている。
となると下の図の水色の直角三角形も辺の比は3：4：5だから、その2番目に長い辺は3.2㎝。
EFはこの4倍の長さ（正方形の中心はEFの真ん中の点）なので 3.2×4＝12.8㎝ 
