6でも9でも使えるカード（整数問題）

前回の記事の続きです。

今回取り上げるのはカード並べの問題です。よくある問題と違うのは、9を6としても使えるところで、そうなると数えるときかなり面倒になります。

たとえば次の問題。

6種類のカード0⃣、1⃣、2⃣、4⃣、5⃣、9⃣が1枚ずつあります。その中から3枚のカードを選び、一列に並べて3けたの整数を作ります。ただし、9⃣のカードはひっくり返して6⃣のカードとして使うこともできます。このとき、次の各問いに答えなさい。（東京女学館2022第2回）
⑴ 整数は全部で何個できるか求めなさい。

まず「6種類のカード0⃣、1⃣、2⃣、4⃣、5⃣、9⃣」を（ひっくり返すことをしないで）そのまま6枚のカードとして並べるときの並べ方を考える。

このとき、百の位は0以外の5通り、十の位は百の位で使った数以外の5通り、一の位は百の位と十の位で使った数以外の4通りあるから

5×5×4＝100通り…①

つぎに、9⃣以外の5種類のカード（0⃣、1⃣、2⃣、4⃣、5⃣）の並べ方を考えると、上と同じように考えて、百の位で4通り、十の位で4通り、一の位で3通りあるから、

4×4×3＝48通り

これは①の整数100コのなかに9⃣を使った数が52コ（＝100－48）あるということ。そうであれば「9⃣のカードはひっくり返して6⃣のカードとして」も使えるとき、この52コがそのまま6⃣を使った新しい数として増えるから

100+52＝152個

0⃣、1⃣、2⃣、4⃣、5⃣、9⃣（または6⃣）でできる偶数の一の位は0、2、4、6。そこで一の位で場合分けする。

以上の1～4の合計で 28+23+23+16＝90個

整数152コを大きい順に考える必要があるから、百の位で整理しなおす。

0⃣、1⃣、2⃣、4⃣、5⃣、9⃣（または6⃣）でできる数の百の位は1、2、4、5、6、9。それぞれ整数が何個あるかを考える。

❶百の位が1…十の位が6通り、一の位が5通りある。ただし、この6×5＝30通りには169、196も入っているので、この2コを引いて28コ。

❷百の位が2、❸百の位が4、❹百の位が5のときも、同じように考えてそれぞれ28コある。

❺百の位が6…十の位が5通り、一の位が4通りあるから5×4＝20コ。❻百の位が9のときも同じく20コ。

念のため、以上の❶～❻の合計は28×4+20×2＝152とたしかに152コになっている。

上でみたように、❻の「9XX」で20コあるから「30番目の数」は❺「6XX」の大きい方から10番目。よって樹形図を書いて数えると 624

❻「9XX」が20コ、❺「6XX」が20コあるから「50番目の数」は❺「5XX」の大きい方から10番目。よって樹形図を書いて数えると 546