以前の記事の続きです。
「タイル切り」の考え方はそのまま立体（立体だと「串刺し」とよぶことが多い）でも応用できます。また「切れないタイルは何枚か」という逆バージョンでも使えます。
次のような形で出題されます。
タイル切りと串刺し（六甲学院中2022）
次の⑴、⑵の問いに答えなさい。
⑴ 図1のように、1辺が1㎝の正方形を並べて縦3㎝、横4㎝の長方形を作り、対角線を1本引くと、1辺が1㎝の正方形を6個通ります。
同じように、縦27㎝、横33㎝の長方形を作り、対角線を1本引くと、1辺が1cmの正方形を何個通りますか。
タイル切りには植木算と同じようにいくつか数え方があります。以前の記事では最後に－1をする方法が使われていましたが、ここでは最後に＋1をする方法（こちらがより一般的）を使っています。
まず「縦27㎝、横33㎝」に並ぶ正方形のタテと横の個数がたがいに素となる（最大公約数が1になる）よう3で割って、タテ9㎝、横11㎝の長方形で考える（こうしないとこのあと出てくる＊が成り立たない）。
この対角線と「1辺が1cmの正方形」とでタテと横の方向に交点がいくつできるかを考えると
- タテ9㎝だと横の線が9－1＝8本あるのでタテ方向に8コの交点ができる。
- 横11㎝だとタテの線が11－1＝10本あるので横方向に10コの交点ができる。
交点の数だけ正方形を通ること*、交点ができる前に最初の1コの正方形のなかを通ることから
8＋10＋1＝19コ
これが3回くり返されるから、19×3＝57個
⑵ 図2のように、1辺が1cmの立方体を60個積み上げて、縦3㎝、横5㎝、高さ4㎝の直方体を作りました。図の頂点A、Bを通る直線は1辺が1㎝の立方体を何個通りますか。
立体の串刺しの場合も平面のときと同じ考え方で対応できる。
まず「縦3㎝、横5㎝、高さ4㎝」を作る立方体の個数はどの2つもたがいに素なので（小問⑴とは違って）交点がダブることはなく、まとめて1回の計算ですむ。
AからBへ行く直線が途中でタテ・横・高さの方向にいくつの面と交点ができるか考えると、タテ方向に2つ（＝3－1）、横方向に4つ（＝5－1）、高さ方向に3つ（＝4－1）の面とぶつかって交点ができる。最初の交点ができる前に1コの立方体のなかを通るから
2＋4＋3＋1＝10個
切られないタイル（品川女子2022）
図のような直角三角形の形をした枠に、1辺の長さが10㎝の正方形の形をしたタイルを直角がぴったり合うように左下からしきつめていきます。枠からはみ出ないようにしきつめることのできるタイルは全部で▢枚です。
これがもしタテ60㎝、横80㎝の長方形だとしてここにタイルをびっしりしきつめるとしたらその対角線で何枚のタイルが切られるかという「タイル切り」を考える。
- まずタイルは「1辺の長さが10㎝」なので、タテに6枚、横に8枚の合計48枚ならべることができる。
- タイルの枚数がたがいに素となるよう2で割って、タテ3枚、横4枚の長方形で考えると、切られるタイルは2＋3＋1＝6枚。これを2回くり返すので合計12枚が切られる。
となると逆に切られないタイルは48－12＝36枚。
ここまで長方形で考えてきたから、問題文にある「直角三角形」だとこの半分の18枚が切られないタイルの数となる。
この切られないタイルがそのまま「枠からはみ出ないようにしきつめることのできるタイル」となるので、その数は18枚。
立体の串刺し（逗子開成2020第3次）
次の各問いに答えなさい。
⑴ 1辺の長さが1㎝の立方体12個を使って、下の図のような直方体を作ります。このとき、直線ABによって貫かれる立方体は12個のうち何個ですか。
まず立方体がタテ2コ、横3コ、高さ2コ積まれた形なので、交点を計算すると
タテ1＋横2＋高さ1＝4コ
となりそう。しかし実際には
のように2コめの交点と3コめの交点は1点で重なるから、交点は4－1＝3コとなり、「直線ABによって貫かれる立方体」の数は
交点の数（4－1）＋交点の前に貫く立方体1＝4個
⑵ ⑴の図において、この直方体を3点C、D、Eを通る平面で切りました。このとき、直線ABがこの切り口のどこを通るか、図にその点をかきいれなさい。
この平面は、途中2つの面を通るうちの最初の面なので、植木算の考え方で、横も高さもCから⅓のところを通る。
⑶ 1辺の長さが1㎝の立方体1500個を使って、下の図のようなたて10㎝、横10㎝、高さ15㎝の直方体を作ります。このとき、直線GHによって貫かれる立方体は1500個のうち何個ですか。
この大きな直方体は、小問⑴の直方体のかたまりを（立てた形で）タテに5コ、横に5コ、高さに5コずつ積んだ形となっている。このかたまりの高さは5段あり、それぞれ4コの立方体が直線GHによって貫かれているから、ぜんぶで
4コ×5段＝20個 
