以前の記事の続きです。
正六角形を使った面積問題では、①対角線3本を引いて正三角形6コに分けて考えてみるのが基本のアプローチですが、それで困ったときには②正六角形を囲むように正三角形を書いてみるとうまくいく場合があります。
つぎの2問はその②を使うのが解きやすいという問題です。
正三角形で囲んでみる-1（開成2021）
面積が6㎠の正六角形ABCDEFがあります。図のように、P、Q、Rをそれぞれ辺AB、CD、EFの真ん中の点とします。三角形PQRの面積を求めなさい。
いろいろ解き方はありそうですが、六角形を大きな正三角形で囲む（正三角形はすべて相似であることを利用する）のがわかりやすいかと思います。
正六角形の3つの辺を伸ばして大きな正三角形STUを考える。
正六角形ABCDEFの一辺を1とすると、BC＝1、AD＝2より PQ＝1.5。
またSB=BCより SB：PQ＝1：1.5＝2：3。これは面積比にすると
△SBA：△PQR＝4：9
となっている。
ここで正六角形ABCDEFは△SBAの6コ分の大きさなので △SBA＝1㎠。
よって三角形PQRの面積は 1㎠×⁹⁄₄＝⁹⁄₄㎠
正三角形で囲んでみる-2（灘中2018）
右の図のように、正六角形ABCDEFの内側に点Pをとり、6つの頂点とPをそれぞれ直線で結びます。三角形ABP、CDP、EFPの面積がそれぞれ3㎠、5㎠、8㎠であるとき、三角形BCPの面積は▢㎠です。
正六角形ABCDEFの3つの辺を伸ばして大きな正三角形STUを考える。
たとえば△PSTを取り出して考えると、△CDP＝5㎠なので、辺の比と面積比の関係より、その左右の三角形もそれぞれ5㎠。
ほかの部分も同じように考えられるから、それぞれ面積はつぎのようになっている。
求める△BCPの面積は❶四角形BSCPから❷△BSCの面積を引けば出せる。
❶四角形BSCPの面積は8㎠。
❷△BSCの面積は上の図から△USTの面積の⅑。△USTの面積は上の合計で48㎠より
48×⅑＝¹⁶⁄₃㎠。
よって三角形BCPの面積は 8－¹⁶⁄₃＝⁸⁄₃㎠ 
