以前の記事の続きです。
時計の針を左回りさせるという発想で、今年も次のようなおもしろい問題が出されています。
短針と長針のついた時計があります。図のように、最初は短針と長針が12時の位置でぴったり重なっています。短針は1時間につき30°の一定の速さで右回りに動きます。長針は次のルールに従って動きます。
(ア) 長針は1時間につき360°の一定の速さで動きます。
(イ) 長針は、最初は右回りに動きます。
(ウ) 長針が右回りに動いている間に短針とぴったり重なると、長針は回り方を変えて左回りに動きます。長針が左回りに動いている間に短針とぴったり重なると、長針は回り方を変えて右回りに動きます。ただし、回り方を変えるのに必要な時間はないものとします。（灘2022・第2日）
⑴ 短針が動き始めたのち、初めて短針と長針がぴったり重なるのは、短針が動き始めてから▢時間後です。
短針はふつうに「右回りに」、長針は「最初は右回りに」動く。その速さは「短針は1時間につき30°」、「長針は1時間につき360°」なので、ふつうの追いつき算として計算すると
360°÷(360°－30°)＝¹²⁄₁₁時間後
その次に短針と長針がぴったり重なるのは、短針が動き始めてから▢時間後です。
長針は「右回りに動いている間に短針とぴったり重なると、長針は回り方を変えて左回りに」変わるから、こんどは距離360°の出会い算として計算すると
360°÷(360°+30°)＝¹²⁄₁₃時間
よって「短針が動き始めてから」だと ¹²⁄₁₁+¹²⁄₁₃＝²⁸⁸⁄₁₄₃時間後
⑵ 短針が動き始めたのち、初めて図の12時の位置で短針と長針がぴったり重なるのは、短針が動き始めてから何時間後ですか。
小問⑴より、長針が右回りと左回りをそれぞれ143回くり返したとき＝288時間後に（288は12の倍数）短針と長針が12時の位置で「出会う」ことはすぐにわかる。
でもそんな簡単な問題であるわけがないので、あらためて「初めて」ぴったり重なる場所をさがす。つまり長針が右回りのときに12時ちょうどの位置で短針に「追いつく」場所があるはずだという当たりをつけてさがしてみる。
このとき、小問⑴より、長針が右回りと左回りを▢回ずつくり返し、そのつぎに右回りになって短針に追いつくのは
（²⁸⁸⁄₁₄₃×▢+¹²⁄₁₁）時間後
と表せる。これがいちばん小さい整数になるような整数▢を見つければよい（このとき、288も12の倍数なので、全体は必ず12の倍数となり12時の位置で重なる）。
上のカッコの中の式をわかりやすく整理すると
²⁸⁸⁄₁₁×▢ ⁄₁₃+¹²⁄₁₁
これが整数となるためにはまず▢は13の倍数でなければならないことがわかる（288も12も13の倍数ではないので）。
ここからすぐに▢＝13、26、39…とやって力技で計算していっても何とか正解にたどりつけるが、少しラクをするとしたら、つぎにこの式の分子を11で割ったときの余りに注目する。
右側の¹²⁄₁₁の分子12は11で割ると1余る。
一方、左側の²⁸⁸⁄₁₁の分子288は11で割ると2余る（288÷11＝26…2）から、その積（2×▢ ⁄₁₃）は11で割ると1足りない数でなければならない。
ここまでおさえたうえで▢＝13、26、39…と入れていくと、最初にこれを満たすのは（2×▢ ⁄₁₃＝10となる）▢＝65のとき。
つまり長針が右回りと左回りを65回ずつくり返したあとの66回目の右回りのときに初めて12時ちょうどの位置で短針に追いつくことになります。
よって ²⁸⁸⁄₁₁×⁶⁵⁄₁₃+¹²⁄₁₁＝¹⁴⁵²⁄₁₁＝132時間後 
