以前の記事に関連するテーマです。
立体図形の分野に「ひもの巻きつけ」と呼ばれる問題があります。立体に最短距離でひもを巻きつけたときの長さや面積を求めるというのが基本形ですが、そこから派生して応用的な力が問われることもあります。いずれにせよ正しい展開図を考えられるかという点がカギになるので、やはりイメージ力や空間認識力の勝負となります。
たとえば次のような問題。
典型的なひもの巻き付け（獨協中2022第3回）
直方体ABCD-EFGHがあり、面ABCDは正方形で、辺AEの長さは辺ABの長さの4倍です。図のように、頂点Aから頂点Eへ、長さが最も短くなるようにひもを巻き付けます。ひもの長さが16㎝であるとき、次の問いに答えなさい。
⑴ 面EFGHを底面とすると、側面の面積の合計は何㎠ですか。
「面ABCDは正方形で、辺AEの長さは辺ABの長さの4倍」から、この側面を展開図にすると次のとおり（組み立てたときにAと重なる点をA’、Eと重なる点をE’とする）。
このときひもは「長さが最も短くなるように」巻き付けてあるから、四角形AEE’A’の対角線となるが、四角形AEE’A’は正方形であることが明らかなので、その面積は
対角線×対角線÷2＝16×16÷2＝128㎠
⑵ この直方体の表面積は何㎠ですか。途中経過を記入すること。
小問⑴で求めた側面積128㎠に上の面ABCDと下の面EFGHの面積を足すとこの直方体の表面積となる。そして面ABCDと面EFGHはともに一辺が①の正方形であり、それぞれ正方形AEE’A’の¹⁄₁₆の面積となっているから
128+128×¹⁄₁₆×2＝144㎠
以下、参考までに学校発表の公式解答です。
ひも2本の巻き付け（田園調布2022第2回）
図のような、1辺が10㎝の正方形を底面とし、高さが30㎝である直方体ABCD-EFGHがあります。頂点Eから頂点Dまで、BF上の点P、CG上の点Qを通って糸Lを巻き付けます。
⑴ 糸Lの長さがもっとも短くなるようにするとき、次の長さは何㎝ですか。
① BP
② CQ
展開図を書いてみる（組み立てたときにAと重なる点をA’、Eと重なる点をE’とする）。
糸Lは「長さがもっとも短くなるように」「頂点Eから頂点Dまで」巻き付けられたものなので、EDは直線。しかも△AEDは直角二等辺三角形となっているのがわかる。
そして△BPDと△CQDは△AEDと相似で、いずれも直角二等辺三角形であるから
①BP＝20㎝、②CQ＝10㎝
次に、頂点Eから頂点Aまで、BF上の点R、CG上の点S、DH上の点Tを通って糸Mを巻き付けます。今、糸L、糸Mの長さがもっとも短くなるようにします。次の問いに答えなさい。
⑵ ① PRの長さは何㎝ですか。
こんどは△AEA'は例の3：4：5の直角三角形となっているから、BR＝30×¾＝22.5㎝、CS＝20×¾＝15㎝となる。
よってPR＝BR－BP＝22.5－20＝2.5㎝
⑵ ② 四角形PRSQの面積は何㎠ですか。
四角形PRSQ＝△QES－△PER
ここで△PERと△QESは相似比1：2の相似形だから、その面積比は1：4。
となると四角形PRSQ＝△PER×3で求められることがわかる。
そして△PERは、底辺PR＝2.5㎝、高さ10㎝なので、面積は12.5㎠。
よって四角形PRSQ＝12.5×3＝37.5㎠
⑶ この直方体の側面で、糸Lと糸Mの間にある部分の面積の合計は何㎠ですか。
「側面で、糸Lと糸Mの間にある部分」とは△DETのこと。
この三角形DETは△PERと相似比3：1の相似形なので、面積比は9：1となるから
12.5×9＝112.5㎠ 
