素数は無限にあることがわかっていますが（高校数学の背理法で証明できます）、桁が大きくなると素数が素数であることを確かめるのも大変です。
12,978,189桁の素数なんて、確かめるだけでめちゃくちゃ時間がかかるはずです。
（たぶん、より小さい素数全部で割ってみるしか確かめる方法がないと思います。）
桁数が大きいものの計算といえばπの計算が有名ですが、πの桁数を求めることは計算機（コンピュータ）の能力を確かめるぐらいの意味しかないと思います（たぶん）。
（新しい求め方を見つけるのなら意味があるでしょうが。）
しかし、素数は暗号に使えるので、情報・コンピュータ関係では大きな意味があります。
参考
サルにもわかるRSA暗号
過去最大の素数発見＝1297万ケタ－米大学
9月28日18時1分配信 時事通信
【ロサンゼルス27日時事】27日付の米紙ロサンゼルス・タイムズは、1とその数字でしか割り切れない「素数」について、カリフォルニア大学ロサンゼルス校（UCLA）の数学者が8月に1297万8189ケタというこれまでで最大の素数を発見したと報じた。
10万台のコンピューターをインターネットでつなぎ、「2の何乗引く1」で表される「メルセンヌ素数」発見を競う国際プロジェクト「GIMPS」の成果で、新たに発見された同素数は「2の4311万2609乗引く1」。
1000万ケタ以上の素数発見には、民間団体の電子フロンティア財団（本部サンフランシスコ）から10万ドル（約1060万円）の賞金が贈られる。UCLAの研究者はこのうち半額を受け取り、大きな素数を発見した他の研究者たちや慈善活動に残りの5万ドルが分配される見通し。
http://headlines.yahoo.co.jp/hl?a=20080928-00000085-jij-int