康托的證明
將0與1之間所有的實數,以10進位表示,可寫成0.p1p2p3...這種形式的無窮小數 並約定將有理數寫成無窮小數,如(1/2)=0.4999...
假設實數集合(0,1)是可數的,亦即,可以和自然數集合一一對應,則
將實數集合(0,1)的元素全部排列出來,可得到序列
a1,a2,a3,a4...,an,...
現在將自然數集合與實數集合(0,1)之間構成一一對應
1對應a1=0.p11p12p13p14...
2對應a2=0.p21p22p23p24...
3對應a3=0.p31p32p33p34...
4對應a4=0.p41p42p43p44...
...
k對應ak=0.pk1pk2pk3pk4...
...
現在構造一個數b=0.b1b2b3b4...bk...,其中
5,當pkk不=5時
bk={
4,當pkk=5時
則b是0與1之間的一個實數,其數字都是4或5 B是一個無窮小數,並且它的k位數字bk不=pkk,所以b與序列a1,a2,a3,a4,...ak,...中的任何一個數都不相同 這說明序列a1,a2,a3,a4...ak,...並沒有把(0,1)中的數列舉完,也就是,剛剛的假設是錯的,而這個假設是,實數集合(0,1)是可數的
所以,實數集合(0,1)是不可數的
圖一(全圖)畫出正方形DFGH 三角形ABD 三角形QKP(其中 A=C B=E D=F G=K H=P L=Q)
圖二(線段對應線段 第2個三角形)-為了方便說明 畫出第2個三角形 並將對應的點畫在第2個三角形內 三角形內的數均為自然數
構成一個函數M 這個函數將 線段(0,1) 上的數
r=a*10^0+b*10^-1+c*10^-2+d*10-3...
M(r)=...d*10^3+c*10^2+b*10^1+a*10^0
圖三(由上而下掃圖)-以一條直線l(L小寫)由上到下平移 所有在線段BD上的點 均能對應到線段KP
並將線段BD上的點以實數r(0,1)標示 KP上的點則以M(r)標示
為了說明康托證明中的錯誤
我們以
10對應0.1
20對應0.2
...
54550對應0.5545
...
M(pi-3)對應pi-3
由上個證明 存在無窮大的自然數 中可知 所有左邊的數或符號都在三角形內 所有右邊的數都在線段BD上
圖四 回到康托的証明 產生的新數b 一定在線段(0,1)內 新數b由線段BD對應到線段KP也一定有一個點 因為 DFGH是正方形 直線l 是平移的方式 由上移動到下 平移時 任意位置 只要直線l在線段BD出現的點 必同時會在線段KP出現另一個對應的點
假設b=0.555545555... 則對應到KP上得到的符號則是 ...5555455550
但是 剛剛直線l 由上而下平移的時候 所有在線段BD上的點 與線段 KP上的點 都被畫過了 不是嗎?
一定包括b=0.555545555...這個點 也同時包括 ...5555455550這個符號所代表的位置的點
也就是說 正方形DFGH上的線段BD和線段KP也會由康托的證明 證明出兩線段不對應
因此 康托的證明是錯的 因為 正方形DFGH 上 線段BD=線段KP 兩線段是能對應的