經由證明得證而成為定理 一定能在證明中找到問題的關鍵
哥德爾不完備定理的關鍵就在於證明中 以自指式命題為前提 形成矛盾的設計
該矛盾 看起來很像是說謊者的矛盾 又像是理查德的矛盾
但是不管是哪一種矛盾 你一定能發現 所有現存"不能證明的命題" 都和哥德爾所提的矛盾無關
這是因為 在哥德爾的時期 數學在集合論的公理化發展還沒完成
當時討論最熱烈的 或者至少是其中之一 便是 自指式命題
哥德爾的證明應該在 自指式命題解決的同時便功成身退
因為 在現存的所有公理化系統 不論是 數論 或 幾何論 或集合論 不論是由哪一國的菁英所提 均不存在 自指式命題
不存在自指式命題 哥德爾不完備定理的證明就不存在
但是不知為什麼哥德爾不完備定理的證明被無限擴充
後來發現的 "不能證明的命題" 即便是與哥德爾證明中的矛盾毫無相關 也被說成是 哥德爾證明的成功預測
進而將哥德爾的證明提升為定理 無視於 該證明的有效性(沒有自指式命題 該證明就無效)
上述是假設 哥德爾引用的是說謊者矛盾
那如果是理查德矛盾呢? 更簡單
只要發現任何命題 在所有的技術 方法 都找不到證明的情況下
唯一可行而且不會產生任何後遺症的方式
把它提昇為 公理
因為 "自然數集合內元素的個數與實數集合內元素個數一樣多" 這定理 就能使得理查德矛盾不存在
只要 自然數集合內元素的個數與實數集合內元素個數一樣多 對於公理系統內 所有不能被證明的命題中的理查德矛盾就不存在
線段(0,1)上的點可以對應到整個空間的點
現在假設 空間上每一個點都是一個命題 不管可證不可證
也能在 自然數集合內元素的個數與實數集合內元素個數一樣多 的定理內
完成整個公理定理樹狀圖而不會有理查德矛盾
圖一(全圖)
圖二(等分數的決定)-當我們推倒定理 證明時 有些定理可以同時推導出很多定理 有些則否 這裡的等分數 就是由公理系統中 可推導出最多定理的數量決定 例如 某定理可以同時推導出2^10000個定理 則就2^10000+1等分成 如果是公理數比較多 就以公理數量等分
圖三(每一個點都是公理)這裡以皮亞諾公理為例 並假設 等分數為10(表示 由某定理可同時最多推導出9個定理)
圖四(每一個點都是定理)這裡以皮亞諾公理為例 並假設 等分數為10(表示 由某定理可同時最多推導出9個定理)