經濟學的定義
以數量化的方法研究人類的選擇行為
序列效用的錯誤
測量 (measurement) 按照 Stevens 給定的定義為「依據法則而分派數字於物體或事件上」 測量的基本性質
包括了三方面，即測量是依照一定的步驟(法則)、對個體(人、事、物)使用數值(分派數字)來表示個體的特
性，這裡所探討的特性就是效用。
Stevens在談到測量的定義時也提出四種測量尺度 (scale)，也就是對於我們分派在特性的數字有四種不同的
意義
類別或說名義(nominal)：這一類分派的數字僅僅用於區別或分類，如運動員上衣的號碼，門牌上的號碼等。
在數學上的意義則是，這類的數字僅僅能以＝或≠表示數字間的關係。
等級或說順序 (ordinal)：這一類的數字除了可資區別外，還有著順序的意義，如運動員的名次。在數學上
的意義則是，這類的數字則能以＞或＝或＜表示數字間的關係，但是仍然不能運算。另外，在獲得類別或等
級這類測量結果的時候，還須注意一個非常重要的問題，類別和等級都不具有等距的概念，亦即，在這兩類
的數字中2與1的差距不等於2與3的差距。
等距 (interval)：這類的數字則除了區別，有序以外，數字間另有等距的關係，如溫度計上的溫度。在數學
上的意義則是，這類的數字可以作加或減的運算，例如，當我們說溫度差異時，我們可以進行加減的運算，
華氏5度和華氏1度相差華氏4度，不過，請注意，我們卻不可以說華氏5度是華氏1度的5倍。
等比或說比率(ratio)：這類的數字與等距尺度裡的數字最大的差異就在於絕對零值的概念，這類的數字存在
絕對零值的概念。在數學上的意義則是，這類的數字是唯一可以作四則運算的，如果以數學上來說，自然數
和實數都是。
序列效用理論中的效用就是上述的第2種，等級或者順序，是不能做四則運算的！不過，利用無異曲線法我們
卻可以算得很高興，不只能四則運算還能微積分！因此，由序列效用法到無異曲線法，顯然至少存在一個錯
誤
由Stevens 的測量定義可以很容易得到一個結論：人是有測量能力的
由序列效用理論則可得到進一步的結論：人腦本身就是一個效用測量工具，依照序列效用理論，人腦可以測
量出效用的順序
人的心中有一把尺
人的大腦就是一把尺
序列效用理論 可以畫出無異曲線 但是 不能推導出無異曲線 並運算 這都是致命的錯誤
原本的序列效用公理 主要核心抄自 離散數學的序關係
再加以誤解的方式 疊床架屋 但是仍然不能由公理系統推導出無異曲線 並運算
這裡常是以另一種沒有錯誤的方式 建立新的效用理論公理
比率效用公理系統
比率效用公理系統
基本概念
效用集合
效用
交互作用
公理
第一公理：效用集合可以在人的大腦功能下將各度向的效用以單一度向的實數線表示，效用是實數線上的
點，亦即，消費品的效用值為實數。
第二公理：一組消費品有一個效用值。
第三公理：一組消費品至多有一個效用值。
第四公理：當消費品集合是空集合時，效用值為0。
第五公理：消費者有能力自定效用單位量，對於任何一組效用值為非0的消費品，消費者有能力自定其中一
組消費品效用值為1，如果該效用值大於0或者自定其中一組消費品效用值為-1，如果該效用值小於0。
如果只有這些公理，雖然無異曲線圖上的所有的點的位置都不變，但我們還是無法確定哪些點是無異的，
也就是效用相等或偏好相等，這需要測量。另外，我們還要確定是不是真的以實數進行效用值的表達，也有
可能我們仍然是以實數的函數進行效用值的表達。這兩者的差異就在於，當我們宣稱效用值為1的時候，我們
要怎麼證明我們宣稱的效用值2是效用值1的兩倍。如果我們無法證明宣稱的效用值2是1的兩倍，那麼我們就
是將某一種實數函數無意中套用，和序列效用公理系統一樣。而序列效用公理系統是一種 無法運算用的且
沒有效率的公理系統。
因此，前面的公理組合還必須另加一條公理，是可以用以證明我們宣稱的效用單位值2就是1效用單位的兩倍
（具有測量的功能）。另外還可以讓效用值可以按照這條公理進行運算（以此為運算基礎）。也就是，當效
用值是實數的時，我們測量出來的效用值一定也是實數的函數，只不過，這個公理可以確定這裡的效用值2一
定是1的兩倍。而不像是以序列效用的概念，在序列效用公理系統裡，效用值畫在無異曲線圖上是實數，也是
實數的函數。但是，序列效用公理系統裡的效用值2不是效用值1的兩倍。
一個消費者可以很輕易的判定一杯水和一湯匙的糖一起使用效用比較高，還是分開使用效用比較高。這種判
定就是判定糖和水的交互作用是大於0還是等於0或是小於0。因此，第六公理就是有關交互作用的規定。
第六公理：各消費品組合交互作用為0，則消費品組合的總效用值等於各消費品組合的效用值加總
這條公理可以讓效用值進行運算，且由於公理沒有限定交互作用為0的各消費品種類與數量，因此，不再另定
飽和狀公理。不再另定飽和狀公理的原因，還有這裡的消費品組合的效用值是不需要有飽和點的，消費有短
期有長期，有現在消費與未來消費（也就是資產），而這裡的消費品有點接近資產，而且這裡的消費品的數
量還不限定現實環境的數量，正如同我們在預擬消費時一樣，不需要等到消費才決定我們的消費組合的選擇
（當然預擬的結果可能因為實際上更好吃或更難吃而在往後選擇的組合上有所改變）。消費者在這裡運用消
費品的目的只是在做為消費尺度的標準，不需要真的消費。最後，這條公理也可以讓消費者建立效用軸的連
續實數尺度。
第六公理如果以機率論中的機率公理系統來看，應該將效用值以集合形式表示，便能符合機率公理的要求，
互斥的集合可以相加，亦即，將總效用分為幾個互斥的效用集合，則TU（X，Y）＝U（X）＋U（Y）＋IU（X，
Y）其中IU（X，Y）就是X與Y的交互作用。
以比率效用公理系統建立一個效用測量工具，亦即將人腦中的測量工具，具體化。
以三種消費品黃金，白金與水，消費者是作者為例，這三種消費品對於作者而言，不同消費品之間的任意組
合的交互作用均為0。
請注意，這個例子的重點不只是要以黃金做為效用的測量工具，也不僅僅是作者主觀認定效用的測量是大家
都可看到的，重點在於以序列效用的基礎（包含測量的方式，可接受的測量結果），由比率效用公理系統推
導並建立一個客觀的效用測量的工具。
首先，以1g黃金為1效用單位，而經過效用公理進行效用測量工具的建立，不再另外拘泥於這樣的效用測能是
否可能真切，因為，這與無異曲線的測量是一樣真切的，無異曲線法的測量是正確的，這樣的效用測量工具
就是正確的，無異曲線法的測量方式是錯誤的，這樣的效用測量工具就是錯誤的，因為兩種測量方法的基礎
完全一樣。
另取 和1g黃金相同效用大小的白金a1g，因為黃金和白金的交互作用為0，因此，1g黃金和a1g白金的總效用就是
2單位的效用大小。再取b1g水效用大小為2單位，亦即，這個數量b1g的水對於作者的效用必須和1g黃金和a1g
白金的總效用無異。則以1g黃金與b1g的水所得到的總效用就是3單位，再取a2g的白金效用大小為3單位，此
時，a2g的白金效用大小就是與1g的黃金和b1g的水的總效用無異，……，以此類推可以將數線上的自然數都
標示出來，單位就是效用單位，由作者自定得到的。
再用類似的方式，以交互作用為0的3類厭惡品，建立效用數線上負整數的各個數值，就能得到數線上所有整
數的數值。這裡的負整數效用單位與1g黃金的效用值相同，1g黃金的效用值是1單位，負整數效用則為－1單
位。
至於整數間的實數，事實上，所有的實數都可以用10進位或者2進位表示。例如π＝3.1415926……，這是10
進位，也可以用2進位表示。
現在，取c1g的白金和相同效用大小的d1g水，當這樣的組合與1g的黃金效用無異時，c1g的白金效用就是0.5
單位，d1g的水也是效用值為0.5效用單位。再取e1g的黃金與相同效用大小d2g的水，當這樣的組合與c1g的白
金效用無異時，則e1g的黃金效用就是0.25單位，而d2g的水效用也是0.25效用單位。……，以此類推，……
我們就可以得到所有整數間的所有的實數效用值。
由這樣步驟就可以將大腦內的效用測量工具，具體化。建立出一個具體的效用測量工具。所有的產品都可以
用這一個測量工具測量出效用值。而且所測量得到的效用值就是比率尺度的數字，可以四則運算