公共選擇之投票制度
在這裡要由比率效用的推導，建立一種投票方式，藉由這種投票制度，可以達成Bergson的社會福利函數判
斷準則的社會最大福利。
目前的投票制度是一人一票，票票等值；這個制度也是，一人一票，票票等值。
但是在投票時，這個制度不限定任一個單一選民對於各個候選人的票數，不過該選民的票值仍是只有一票。
另外，除了候選人外，選民還可以將票投給額外的一個選項，這個選項名稱暫定為「其他」，這一項選擇除
了表示選民所投給候選人的票數是效用外，也表達了對於為參選者的期望。
例如，有三個候選人（張三，李四和洪七），兩個選民（姜九和成十二）。在投票時，雖然只有三個候選人
，不過為了讓選民心中的效用值顯現，必須增加另一個候選標的，其他。其他，這個候選標的可以讓選民所
得的票數以效用值出現而不是以效用比出現。這裡，姜九可以任意給張三任意票數1000張或√2張或者π張，
給李四的票數也是依照姜九的意志，給洪七的票數也是。假設姜九給張三√3＝1.7320508……張，給李四π
＝3.1415926……張，給洪七10張，那麼，張三得到來自姜九的票不是√3張，而是√3/（√3＋π＋10）＝
1.7320508……/ 14.87364346115867……＝0.116451……；李四得到姜九的票數則是π/（√3＋π＋10）＝
0.210935132……；洪七則得到姜九的10/（√3＋π＋10）＝0.67233……張票。現在如果成十二投給張三1張
票，投給李四0張票，投給洪七10000張票，則張三得到成十二的票數為1/10001＝0.00009999……；李四得到
成十二的票數為0；洪七得到的票數則是10000/10001＝0.9999……。因此，張三得到的總票數為（√3/（√3
＋π＋10））＋（1/10001）＝0.116551……；李四得到的總票數為（π/（√3＋π＋10））＋0＝
0.210935132……；洪七則得到總票數（10/（√3＋π＋10））＋（10000/10001）＝1.67223……。
如下表
選民 \ 候選人 張三 李四 洪七 其他 票數
姜九 √3＝1.7320508…… π＝3.1415926…… 10 0 1
成十二 1 0 10000 0 1
得票 0.116551...... 0.210935132 1.67223…… 0 2
這一種投票方式絕對可以達成Bergson的社會函數判斷準則，而達成社會福利最大，因為這個投票方式各候選
人的得票結果就是他們在選民心中的效用總和。
再以最近比較受矚目的投票為例，天主教教宗的選舉，這裡用三人互選，張三，李四與洪七
選民 \ 候選人 張三 李四 洪七 其他 票數
張三 1 1 3 0 1
李四 1 8 1 0 1
洪七 1 0 1 0 1
得票 0.8 1 1.2 0 3
則由洪七當選教宗，只要選一次而且各主教所得到的票數一定是符合Bergson的社會函數判斷準則。
不過這種投票方式很容易被賄選者以票數做記號，如果李四賄選，他可以約定姜九投張三1，投李四1億票，
投洪七0票；而約定成十二投給張三2票，投給李四1億票，投給洪七0票。則如此，如果姜九或成十二任何一
人沒有投出規定的票數，李四馬上可以從投票結果得知是誰跑票了。因此，一種防杜賄選的方式就是依選民
人數限定給票的方式，如果只有1000位選民，則給單一選民投給任何一位候選人的票數最好低於5張或者10張
，且給的票數必須是自然數或0，如此可以防杜賄選，準確率又不會太差。因為根據Arrow的五個假設，之所
以不能夠滿足這五個假設的原因，尤其是不能滿足「各方案的獨立」（independence of irrelevant
alternatives）這個假設的原因，就是投票結果的準確率。
什麼叫做投票結果的準確率呢？以上面的例子為例，張三得到的總票數
是（√3/（√3＋π＋10））＋（1/10001）＝0.116551……；李四得到的總票數
為（π/（√3＋π＋10））＋0＝0.210935132……；洪七則得到總票數（10/（√3＋π＋10））＋（10000/10001）＝1.67223……。
其實，如前面提過的，選民投出來的票就是候選人在選民心中的效用值。
因此，如果社會的總效用單位是2單位，則張三在選民心中的效用值就是0.116551……效用單位；
李四在選民心中的效用值則是0.210935132……效用單位；洪七在選民心中的效用值則為1.67223……效用單位。
如果選民給各個候選人的票數限定是最多5張且必須是自然數或0，那麼，姜九給張三的票可能由√3→1，
姜九給李四的票π→2，給洪七的票則是由10→5。張三得到的姜九的票可能變成1/8，李四變成2/8，洪七變成5/8；
至於成十二給的票數則可能變成，張三1→0，李四0→0，洪七10000→5。
張三自成十二手中得到的票數就變成0票，李四0票，洪七則變成1票。
至於總票數的變化，張三由0.116551….→0.125，李四由0.210935132……→0.25，洪七則是1.67223……→1.625。
總票數的變化就是準確率，而任意投票不限定選民的最高投票數的投票方式準確度是最高的，
幾乎就是社會福利函數的社會效用值，隨著減少選民的最高投票數，準確率會降低。
選民 \ 候選人 張三 李四(退選) 洪七 其他 票數 張三 1 0 3 1 1 李四 1 0 1 8 1 洪七 1 0 1 0 1 得票 0.8 0 1.2 1 3
上表就是李四退選後的投票結果，所有原本投給李四的票，都會跑到其他這一個候選標的，張三和洪七的這兩個候選人的得票數則不會改變。
因此，不會產生Arrow的不可能定理的情形。 其實，有時候選民對於候選標的並不滿意，
這時也可以投負值的票給不滿意的候選人，在計算票數時，則以負票數轉為絕對值以後與正值的票數一起計算。
總結投票制度的規則:
1.人人等票數，票有正負值，票票的絕對值相等值。
2.每個選民針對各候選標的的票數以選民手中票數為限。
3.選民面對的選項除各候選標的外，另增一項「其他」供選擇。
4.選民對於候選標的可投負值的票數。
注意事項
1.人人等票數，票有正負值，票票的絕對值相等值 同時，人人的效用單位相等
2.為利於選務進行順利 每個人都有正票10票 負票10票
3.序列效用 不能假設票票等值 但是 使用序列效用的經濟學家 社會學家 政治學家 都會明示或暗示的進一步假設 票票等值 這是錯誤的
4.「其他」這一個候選項目不可省或者刪除。不過，如果刪除或省略「其他」這一個候選項目，
對於Arrow的不可能定理也能通過考驗，除非選民的效用結構有變化（Arrow的五個假設並沒有提出效用結構變化的假設，
效用結構產生變化的情形應該極少見，特別是因為面對的產品數量有所增減，大概也是因為這樣Arrow才沒有提出這樣的假設），
否則仍能通過Arrow五個假設，使得不可能定理變成可能，因為退出的候選人的票數會按比率自動移動到其他候選人處。
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