シムソン線、シュタイナー線、そしてセイミヤの定理！！！

こんにちは。パーソナル数学コーチの八田陽児です。

今回も８月９日に行われました大阪私学数学会の内容をまとめたいと思います。

難波先生のご講話より。

＜テーマ＞

シムソン線

シュタイナー線

清宮（せいみや）の定理

まずは有名なシムソン線の説明です。

（ご存知の方は飛ばしてください。）

１．図のように円に内接する三角形ＡＢＣを考え、外接円上に点Ｐを取ります。

２．点Ｐから三角形の辺（とその延長）上に垂線を下ろします。

この図は、点Ｐから辺ＡＢの延長上に垂線を下ろし、直線ＡＢと垂線の交点をＧとしています。

３．同様に辺ＢＣ、辺ＣＡにおいても同じように点Ｐから垂線をおろします。

点Ｐから辺ＡＢ，ＢＣ，BAにおろした垂線との交点を、それぞれの点を点Ｇ、点Ｈ、点Ｋとしています。

４．ここでよ～～～く点Ｇ，Ｈ，Ｋを見てください。何かに気づきませんか？？( ﾟ∀ﾟ)

そうですっ！実はこの３点は・・・

一直線上にあるのです！！

この線をシムソン線といいます。

シムソンさん、いったいどんな数学者なのか、私は知りません…。

（Ｗｉｋｉｐｅｄｉaにもいません。）

もしどなたか何か情報をお持ちでしたら、ぜひ教えてくださいませ！！

では続きまして、シュタイナー線です。

１．三角形ＡＢＣの外接円上に点Ｐをとります。（ここまではシムソン線と同じ。）

そして点Ｐを直線ＡＢにおいて線対称した点をＨとします。

２．同様に直線ＢＣ、直線ＣＡにおいて線対称となる点Ｎ，Ｍを取ります。

ここで点Ｈ、Ｎ、Ｍをよ～～く見てください。何かに気づきませんか？？( ﾟ∀ﾟ)

そうですっっ！！！実はこの３点は・・・

三点は同一直線状にあるのです！

この線をシュタイナー線といいます。

ちなみに、三角形ＡＢＣの垂心はこのシュタイナー線上にあることも知られています。

さてここまでのシムソン線、シュタイナー線はよく聞くお話です。

今回の難波先生のご講話でありましたのは、さらに発展した清宮（セイミヤ）さんが１６歳のときに発見したといわれる定理です。

清宮（せいみや）の定理

１．シュタイナー線と同様、点Ｐにおいて辺ＡＢ、ＢＣ、ＣＡにたいして線対称な点Ｈ，Ｎ，Ｍを取ります。

２．点Ｐとは別に外接円周上に点Ｑをとります。

３．点Ｑと（点Ｐの線対称である）点Ｈ、Ｎ，Ｍをそれぞれ結びます。

そして直線ＡＢ，ＢＣ、ＣＡとの交点をとります。（水色の点）

４．この３つの点をよ～～く見てみてください。何かに気づきませんか？？( ﾟ∀ﾟ)

実は・・・なんと・・・

え？もう一直線上は飽きましたか？？(> <)

はい、これも一直線上に並ぶのでした。

これを清宮の定理というそうです。

清宮先生が１６歳のとき、別の定理を証明しているときに発見したそうです。

（きっとシュタイナー線を証明しようとされていたときでは、と思いますが。）

シムソン線とシュタイナー線の証明はこちらの記事 のニコニコ動画で見ていただくとして、ぜひ清宮の定理の証明もチャレンジしてみてくださいね！！！

＜参考文献＞

パソコンで学ぶ平面幾何教室
http://www.geocities.jp/osaqmath/index.html

こちらのサイト様のプログラムを使用させていただきました。

図形を書いた後、点を自由に動かせますので、どんな三角形でも一直線上になることが見てわかり、非常におもしろいです。

点を自由に動かせるサイトは他ではまだ見当たらないです。

（もしご存知の方がいらっしゃいましたら、ぜひ教えてくださいませ。）