昔、他の学校で出されたことがあるので、見たことのある人もいたでしょうが、たぶんこれが初見、という人が大半でしたでしょう。
⑶の規則は書き出し方がうまければ気づくことができます。
問題
次のような操作を考えます．
操作：
ある数に対して，その数が10の倍数のときは10で割り，10の倍数でないときは3倍して2を加える。
この操作を繰り返し行うとき，次の問いに答えなさい．
⑴ ⅰ 1に対してこの操作を5回行ったあとの数を求めなさい．
ⅱ 2に対してこの操作を5回行ったあとの数を求めなさい．
⑵ 1から100までの数に対してこの操作を行うとき，10で割るという操作を1回も行わない数は何個ありますか．
⑶ 1から100までの数に対してこの操作を行うとき，10で割るという操作をちょうど1回だけ行う数は何個ありますか．
解説
1→5→17→53→161→485
2→8→26→80→8→26
⑴ ⅰ 485 ⅱ 26
上記のように試してみます。
3→11→35 下1桁が5なので、1のときと同じく5→7→3→1→5→…と繰り返し、10で割れません。
4→14→44→…と下1桁が4をくり返します。
5 1のときより、これは10で割り切れません。
6→20→2→8→26→80→…と10で複数回割り切れます。
7 1のときより、これは10で割り切れません。
8 2のときより、これは割り切れます。
9→29→89→…と下1桁が9をくり返します。
以上より、下1桁が1、3、4、5、7、9は10で割り切れませんので、求める数は6×10＝60個です。
⑵ 60個
操作後に下1桁が1、3、4、5、7、9となればその後は10で割り切れません。
そうすると、まず10、30、40、50、70、90の6つが当てはまります。
他は、まず、下1桁が2になるものを実験すると、以下のようになり、10で割った結果は27ずつ増えていくとわかり、結果、12、32、52、72、82、92がその後、10で割り切れないことが分かります。
12→38→116→350→35
22→68→206→620→62
32→98→296→890→89
42→128→386→1160→116
52→158→476→1430→143
62→188→566→1700→170
72→218→656→1970→197
82→248→746→2240→224
92→278→836→2510→251
下1桁が6のものは同様に、16→50→5、26→80→8、と3ずつ増えますので、5，8，11，14，17，20，23，26，29となり、16、36、46，56，76，96が1回だけ割り切れるとわかります。。
下1桁が8のものも同様に、18→56→170→17、28→86→240→24と7ずつ増えますので、17，24，31，38，45，52，59，66，73となり、18、28、38、58、78、98が1回だけ割り切れるとわかります。
よって、計24個が求める解となります。
⑶ 24個