手数はかかりますが、確実にとりたい規則性の問題です。
問題
1番目の数を1，2番目の数も1とし，3番目の数は1番目の数と2番目の数をたした数を3で割った余り2とします。4番目以降も，3番目の数のつくり方と同様にして，直前の2つをたした数を3で割った余りとします。3で割り切れたときの余りを0として，次の問いに答えなさい。
⑴ 4番目から16番目の数をかきなさい。
⑵ 2011番目の数を答えなさい。
⑶ 1番目からn番目の数を順にすべてたします。その和が初めて111105以上となるのはnがいくつのときか答えなさい。
解説
実際に計算し1番目から見てみます。そうすると以下の通りです。
1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，…
そうすると、1，1，2，0，2，2，1，0の周期をくり返すことがわかります。
⑴ 0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0
2011÷8＝251…3より、2011番目は2とわかります。
⑵ 2
周期1つにつき、和が1＋1＋2＋0＋2＋2＋1＋0＝9となります。
111105÷9＝12345より、12345周期目まで加えると和が111105となります。
このとき、最後は0なので求める値は12345×8－1＝98759です。
⑶ 98759