N進数の問題は出されるときには大問で出ます。
しらない、はなくしたいところ。
問題
0，1，2の3つの数字のみ使って数をつくり，次のように小さいほうから順に並べます。
1，2，10，11，12，20，21，22，100，101，102， …
⑴ 122番目の数は何ですか。
⑵ 2222は初めから数えて何番目になりますか。
⑶ 記号⊕は(m番目の数)⊕(n番目の数)＝(m＋n番目の数)の計算を表すことにします。
例えば，4番目の数は11，5番目の数は12，9番目の数は100ですから，11⊕12＝100となります。このとき，次の計算をしなさい。
① 11⊕22
② (2012⊕2102)⊕2002
解説
122番目ということは10進数の122を3進数で表したものになります。
そうすると
万の位 122÷(3×3×3×3)＝1…41より1
千の位 41÷(3×3×3)＝1…14より1
百の位 14÷(3×3)＝1…5より1
十の位 5÷3＝1…2より1
一の位 2÷1＝2より2
よって求める数は11112
⑴ 11112
3進数の2222は2×3×3×3＋2×3×3＋2×3＋2＝54＋18＋6＋2＝80なので、80番目とわかります。
⑵ 80番目
11は4番目の数、22は8番目の数なので、求めるのは12番目の数です。
これは12÷9＝1…3、3÷3＝1…0より110とわかります。
⑶① 110
3進数の2012は2×27＋3×1＋2＝59番目、2102は2×27＋1×9＋4＝65番目となりますので、2012⊕2102＝59＋65＝124番目の数とわかります。
2002は27×2＋2＝56番目の数なので、求めるのは124＋56＝180番目の数とわかります。
10進数の180は3進数になおすと、180÷81(3を4回かけた数)＝2…18、18÷9＝2より20200となり、これが求める数となります。
⑶② 20200