ちょっと大変ですが、これも最近はやり？のnで何回割り切れるか問題の応用編です。少し前に扱った早稲田中の問題に似ています。
問題
⑴ 1から2007までの整数をすべてかけたとき，0は1の位から続けていくつ並びますか。
⑵ AからBまで連続する整数をすべてかけたとき，一の位から順に見て，最初に現れる0以外の数を(A，B)で書くことにします。
たとえば，1×2×3×4×5＝120なので，(1，5)＝2です。
① (1，10)を求めなさい。
② (121，130)を求めなさい。
解説
2×5＝10に着目すると、素因数分解したときに、2をかける回数より少ない5をかけている回数によって、0の数が決まることがわかります。
つまり、よくあるnで何回われますか、というのと同じアプローチで解くことがわかります。
2007までに、5の倍数は2007÷5＝401個、5×5の倍数は2007÷25＝80個、5×5×5の倍数は2007÷125＝16個、5×5×5×5の倍数は2007÷625＝3個とわかり、5を401＋80＋16＋3＝500回かけていることがわかりますので、求める計算のなかには2×5が500個あることがわかります。
よって、0は1の位から500個並ぶことがわかります。
⑴ 500個
1×2×3×4×5×6×7×8×9×10
＝2×5×10×3×4×6×7×8×9
＝100×3×4×6×7×8×9
と考えます。
そうすると、3×4×6×7×8×9の一の位だけを考えると8と求まります。
⑵① 8
121×…×130までに5の倍数は130÷5－120÷5＝2個、5×5の倍数は1個、5×5×5の倍数も1個とわかるので、5で4回割り切れることがわかります。つまり、0が4個あることがわかります。
このとき、2，5の組み合わせを4つ抜き出すと
121×…×130
＝121×2×61×123×2×2×31×5×5×5×2×63×127×128×129×5×26
＝10000×61×123×31×63×127×128×129×26
61×123×31×63×127×128×129×26の一の位を考えると、6とわかります。
⑵② 6