食塩水の操作は難関校のみならず最難関校ですら、出されますが、現象をきちんと理解すれば、そう難しくはありません。
問題
400gの食塩水があります。この食塩水に次の操作を行います。
『食塩水を100g取り出し，かわりに水を100g加えてよく混ぜる』
この操作を2回行った後，食塩水の濃度が4.5％になりました。このとき，次の問いに答えなさい。
⑴ 初めの食塩水の濃度を求めなさい。
⑵ この操作を何回か行って濃度を3％以下にするには，はじめから数えて少なくとも何回行えばよいですか。
解説
1回の操作ごとに、食塩の量は3／4になることがわかります。
操作前と操作後で食塩水の量自体は同じ400gですので、濃度も同じく3／4倍になることがわかります。
よって、はじめの濃度は4.5÷3／4÷3／4＝8％と分かります。
⑴ 8％
3回目…4.5×3／4＝27／8％
4回目…27／8×3／4＝81／32％
以上より、4回目で初めて3％以下になると分かります。
⑵ 4回目