場合の数は⑷だけですが、まあ、場合の数自体あまり取り上げてこなかったので、場合の数扱いにします。
多少技巧的な解き方を書きましたが、総当たりでもなんとかなるかもしれません。
問題
白，赤，黄，青それぞれ2枚ずつ合計8枚のカードがあります。同じ色には同じ整数が，違う色には異なる整数が書いてあります。カードに書いてある整数について，次のようなことがわかっています。
白2枚と赤1枚に書いてある整数の和は15です。
8枚全部のカードに書いてある整数の和は80です。
赤1枚に書いてある整数の3倍が黄1枚に書いてある整数と等しくなります。
白と青のカードどちらかに整数の1が書いてあります。
⑴ 整数の1が書いてあるカードは白，青のどちらですか。
⑵ 青1枚，赤2枚，黄1枚のカードに書いてある整数の和を求めなさい。
⑶ 何枚かのカードに書いてある整数の和が35になりました。それぞれの色の枚数を書きなさい。
⑷ 8枚のうち3枚のカードを取り出すとき，書いてある整数の和は全部でいくつありますか。
解説
白に1が書いてあるとすると、赤は15－1×2＝13となり、赤2枚と黄2枚の合計は13×2＋13×3×2＝104となり、総和が80になるという条件に合致しません。
よって、青に1が書いてあることがわかります。
⑴ 青
15－赤1枚＝偶数より、赤は奇数とわかります。
そうすると赤、青、黄の最小値はそれぞれ3、1、9で、このとき、白は最大値(15－3)÷2＝6とわかります。
また、40－(赤＋黄)＝40－4×赤＝4×(10－赤)＝青＋白より、青＋白は4の倍数で、白は4の倍数－1とわかります。
そうすると、白は3とわかり、赤は15－3×2＝9、黄は9×3＝27とわかります。
よって、求める数は1＋9×2＋27＝46とわかります。
⑵ 46
80－27×2＝26より、35を作るためには必ず黄を1枚使います。
そうすると、残りのカードの和は35－27＝8になります。
これを作ることができるのは青2枚、白2枚のみです。
⑶ 青2枚 白2枚 黄1枚
8枚のカードから3枚取り出す組み合わせを考えます。
3枚とも色違い…4個
2枚同じ…2枚の色ごとに3通りずつなので3×4＝12個
2倍になる関係がありませんので、同じ和になるものは存在しません。
以上、16個とわかります。
⑷ 16個