実際は、7の倍数まで考え、あとはいくつかの11以上の素数同士の積の数で考えるのが最短距離なのですが、とりあえず、小学生が素直に思いつきやすい11の倍数まで書き出しで検討してみました。
私自身、11の倍数について漏れがないか、重複がないかは心配ですが、とりあえず載せてみます。
問題
1000以下の素数は250個以下であることを示せ。
解説
①2の倍数を考えます。
そうすると1000÷2＝500個あり、素数である2を除けば、素数でないものが500－1＝499個あることがわかります。
②3の倍数でかつ2の倍数でないものを考えます。
そうすると、1000÷3－1000÷6＝333－166＝167個あり、素数である3を除けば167－1＝166個あることがわかります。
③5の倍数でかつ2、3の倍数でないものを求めます。
このとき、計算すべきは(5の倍数の個数)－(10の倍数の個数＋15の倍数－30の倍数)です。そうすると、1000÷5－(1000÷10＋1000÷15－1000÷30)＝200－(100＋66－33)＝67個あり、素数である5を除けば67－1＝66個あることがわかります。
④7の倍数でかつ2、3、5の倍数でないものを求めます。
これは、7に2の倍数、3の倍数、5の倍数をかけないものとして考えると、1000÷7＝142までに、2の倍数、3の倍数、5の倍数でないものが何個あるかで考えます。
そうすると、142÷5－(142÷10＋142÷15－142÷30)＝28－(14＋9－4)＝9個あることがわかり、素数である7を除けば9－1＝8個とわかります。
⑤11×(2、3、5、7以外の素数)について求めます。
11×11＝121、11×13＝143、11×17＝187、11×19＝209、11×23＝253、11×29＝319、11×31＝341、11×37＝403、11×41＝451、11×43＝473、11×47＝517、11×53＝583、11×59＝649、11×61＝671、11×67＝737、11×71＝781、11×73＝803、11×79＝869、11×83＝913、11×89＝979と、20個あることがわかります。
①～⑤で、既に素数でないものが499＋166＋66＋8＋20＝759あることがわかりますので、これで、1000以下の素数が、多くとも1000－759＝241個であり、実際は確認していないものもありますので、241個以下になりうることがわかります。