今日はオーソドックスな場合の数です。
これができれば一安心といったところ。
基本でありながら場合分けも余事象もある良問です。
問題
カズオ君は学園祭でアイスクリーム屋をやることになりました。味はチョコ，バニラ，イチゴの3種類です。スプーンですくって最大4つのアイスクリームを縦に重ね，“芝アイス”として売ることにしました。同じ味が複数あってもよいこととし，さらに重ねる順番をお客さんは選ぶことができます。また，重ねる順番が異なる場合は異なるものとして考えます。
⑴ 芝アイスは全部で□通りあります。
⑵ 味が3種類の芝アイスは全部で□通りあります。
⑶ 味が2種類の芝アイスは全部で□通りあります。
解説
アイスクリームが1つ…3通り
アイスクリームが2つ…3×3＝9通り
アイスクリームが3つ…3×3×3＝27通り
アイスクリームが4つ…3×3×3×3＝81通り
よって3＋9＋27＋81＝120通り
⑴ 120通り
アイスクリームが3つの場合…3×2×1＝6通り
アイスクリームが4つの場合、同じ味が2つあります。
そうすると、同じ味の2つの場所を決め、残り2つの味の場所を決めることになります。
同じ味の2つの場所…4×3÷2＝6通り
残り2つの味の場所の決め方…2通り
同じ味のもの…3通り
アイスクリームが4つの場合…6×2×3＝36通り
よって6＋36＝42通り
⑵ 42通り
味が2通りはもっと面倒なので、全体から味が1通り、3通りを引くことによって求めます。
味が1通りのもの
アイスクリームが1つ…3通り
アイスクリームが2つ…3通り
アイスクリームが3つ…3通り
アイスクリームが4つ…3通り
あわせて3＋3＋3＋3＝12通り
味が3通りのもの
⑵より、42通り
全体
⑴より120通り
よって、求める答えは120―（12＋42）＝66通り
⑶ 66通り