整数問題 その12（灘中 2007・1日目）

倍数判定法がわかれば、気づきひとつでやりやすい問題です。

問題

207，2007，20007，…のように先頭が2で末尾が7，間は0である整数のうち，27で割り切れるが，81で割り切れないものを考える。この中で最も小さい数は□である。

解説

まず2□□7は桁の数の合計が9なので、すべて9の倍数になります。

そこで9×3＝27、9×9＝81を利用します。

207＝9×23、2007＝9×223、20007＝9×2223、…となります。

このとき、9×□の□が3の倍数なら、2□□7は27の倍数、9×□の□が9の倍数なら、2□□7は81の倍数とわかります。

そうすると、各桁の和が3の倍数のとき、その数は3の倍数になることも考慮すると、下表のようなことがわかります。

	207	2007	20007	200007	2000007	20000007	…
9で割った値	23	223	2223	22223	222223	2222223	…
各桁の和	5	7	9	11	13	15	…
3の倍数	×	×	○	×	×	○	…
9の倍数	×	×	○	×	×	×	…

上表より、求める答えは20000007とわかります。

20000007