⑶まではN進数は関係ありません。⑷のN進数も実は基礎的な内容です。
N進数を知らなくても、⑶までは数え上げで、基礎的なN進数を知っていれば、⑷も解くことができます。
問題
整数を横一列に並べてできる数を考えます。たとえば，1から10までのすべての数をひとつずつ並べると
12345678910
という11けたの数ができます。また，1から20までのすべての数をひとつずつ並べると
1234567891011121314151617181920
という31けたの数ができます。
次の問いに答えなさい。
⑴ 1から100までのすべての数をひとつずつ並べてできた数に，数字「2」は全部で何個ありますか。
たとえば，1から20までのすべての数をひとつずつ並べてできた数に，数字「2」は全部で3個あります。
⑵ １からある数までのすべての数をひとつずつ並べてできた数に，数字「0」が全部で200個ありました。ある数を求めなさい。
⑶ 1から1000までのすべての数をひとつずつ並べたとき，何けたの数ができますか。
⑷ 整数のうち，数字「1」，「2」，「0」のみが使われた数を考えます。
たとえば，このような数を，小さい順に1から20までひとつずつ並べると
1210111220
という10けたの数ができます。
数字「1」，「2」，「0」のみが使われた数を，小さい順に1から2021までひとつずつ並べたとき，何けたの数ができますか。
解説
21から30まで、22に注意して数えると、2は30－21＋1＝10個あります。
31から100までは、2は9－3＋1＝7個あります。
よって、求める個数は3＋10＋7＝20個とわかります。
⑴ 20個
10から99まで：0は9個
100から110まで：100に注意して数えると、10＋2＝12個
111から199まで：0は8個
同様にして、200から999までは(12＋8)×8＝160個とわかり、1から999までで9＋20＋160＝189個とわかります。
1000は0が3個、1001、1002。1003、1004で0が8個となります。
そうすると、1004で0がちょうど189＋3＋8＝200個とわかります。
⑵ 1004
1から9まで：9けた
10から99まで：2×(99－10＋1)＝180けた
100から999まで：3×(999－100＋1)＝2700けた
1000：4けた
以上より、9＋180＋2700＋4＝2893けたとわかります。
⑶ 2893けた
0、1、2しか使えないということは、組み合わせた数は3進数になります。
そうすると、2021は1から数えて、1＋2×3＋0×3×3＋2×3×3×3＝61番目の数だとわかります。
1けたの数
1、2の2個なので、合わせて1×2＝2けた
2けたの数
3番目から0＋0×3＋1×3×3－1＝8番目までなので、合わせて2×(8－3＋1)＝12けた
3けたの数
9番目から0＋0×3＋0×3×3＋1×3×3×3－1＝26番目までなので、合わせて3×(26－9＋1)＝54けた
4けたの数
27番目から61番目までなので、合わせて4×(61－27＋1)＝140けた
以上を合計して2＋12＋54＋140＝208けたとなります。
⑷ 208けた