組み合わせは、まあいろんなテクニックが言われますが、基本的にはもれなくダブりなく数える力が重要です。テクニックは、そうした基本を地道にできることの延長線上にあります。
この問題は、不定方程式を用意して、それぞれの使う数を0とする場合も一緒くたに数える手がありますが、あえて分けて、もれやダブりを確実に排除する数え方で解説を書きました。
問題
決められた何種類かの整数を足し合わせて1つの整数を作る方法を考えます。例えば，1，2，3のみを用いて5を作る方法は，
3＋2，3＋1＋1，2＋2＋1，2＋1＋1＋1、1＋1＋1＋1＋1
の5通りが考えられます。ただし，足す順序が異なるだけのものは同じ方法とします。2，3，5のみを用いて30を作る方法は全部で何通りあるか答えなさい。
解説
まず、2，3，5のすべてを使って作る方法を考えます。
3を2つは2が3つで置き換えできることを活用します。
(5の数，3の数，2の数)＝
(5 1 1)、(4 2 2)、(3 3 3)、(3 1 6)、(2 6 1)、(2 4 4)、(2 2 7)
(1 7 2)、(1 5 5)、(1 3 8)、(1 1 11)
の11通りとなります。
次に、5，3の2つで作ることを考えます。
(5の数 3の数)＝
(3 5)
の1通りとなります。
さらに、5，2の2つで作ることを考えます。
5を2つは2が5つで置き換えられることを活用します。
(5の数 2の数)＝
(4 5)、(2 10)
の2通りとなります。
そして、3，2の2つで作ることを考えます。
こちらも、3を2つは2が3つで置き換えできることを活用します。
(3の数 2の数)＝
(8 3)、(6 6)、(4 9)、(2 12)
の4通りとなります。
最後に、5だけ、3だけ、2だけで作ることができるのはそれぞれ1通りずつなので、計3通りです。
よって、求める組み合わせは11＋1＋2＋4＋3＝21通りとなります。
21通り