本日は、規則性について扱います。
平方数というのは同じものを2回かけた数のことをいい、例えば、2の平方数は2×2＝4、3の平方数は3×3＝9となります。
中学数学で習うものですが、中学受験でも見かけないわけではなく、海城中や、桐蔭学園中（帰国）などで出題例があります。
今回は、2020年に明大中野八王子中で出題されたものを扱います。
明治大学中野八王子中 2020①
問題
次のように数があるきまりをもって並んでいます。
1，4，9，16，25，36，……
次の問いに答えなさい。
⑴ となりあう数の差が31になるとき、小さいほうの数を求めなさい。
⑵ 並んだ3つの数の和が1730になるとき、まん中の数を求めなさい。
解説
この問題は、実験による方法と、式の仕組みを使った方法の2通りの解き方があります。
①実験による方法
⑴
1番目と2番目、2番目と3番目、4番目と5番目の数字の差を順に書いていくと、以下のようになります。
3，5，7，…
上の数字の並びを初項が3、公差が2の数列として考えると、31は(31－3)÷2＋1＝15番目の数字とわかります。
この数列は、1番目が（問題の数列の2番目―1番目）、2番目が（問題の数列の3番目－2番目）となりますから、15番目は（問題の数列の16番目－15番目）とわかり、問題の数列の15番目を求めればよいとわかります。
問題の数列をよく見ると
1×1，2×2，3×3，4×4，5×5，6×6，…
と読み取ることができますので、15番目は15×15＝225とわかります。
225
⑵
1番目＋2番目＋3番目、2番目＋3番目＋4番目、3番目＋4番目＋5番目を順に書いていくと以下のようになります。
14，29，50，…
少し見つけにくいかもしれませんが、それぞれ4×3＋2、9×3＋2、16×3＋2と、並んだ3つの数のまん中の数×3＋2とわかります。
すると、（1730－2）÷3＝576が求めるまん中の数とわかります。
576
②式の仕組みを使う問題
⑴
求める数が○番目の○×○として考えます。
○＋1番目から○番目の数を引くと以下のようになります。
＝（○＋1）×（○＋1）－○×○
＝○×（○＋1）＋1×（○＋1）－○×○
＝○×○＋○＋○＋1－○×○
＝2×○＋1
＝31
このとき、○＝15とわかりますので、求める数は15×15＝225です。
225
別解）
○番目、○＋1番目が○×○、（○＋1）×（○＋1）の正方形として表せることを利用して解きます。
色のついた部分が差の31となりますので31＝○×1×2＋1×1となり、これを解くと、○＝15とわかります。
⑵
まん中の数を□番目の□×□とします。
そうすると。（□－1）番目、□番目、（□＋1）番目は以下のようになります。
＝（□－1）×（□－1）＋□×□＋（□＋1）×（□＋1）
＝□×（□－1）－1×（□－1）＋□×□＋□×（□＋1）＋1×（□＋1）
＝□×□－□－□＋1＋□×□＋□×□＋□＋□＋1
＝3×□×□＋2
＝1730
以上から、□×□＝（1730－2）÷3＝576とわかります。
576