【問題】内接円の半径４で外接円の半径９である三角形の最大長の辺の長さの最大値を求めよ。内【答案】

【問題】

内接円の半径４で外接円の半径９である三角形の最大長の辺の長さの最大値を求めよ。 

内接円の半径４で外接円の半径９である三角形の内角の最大値を求めよ。

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【答案】

求める辺の長さをaと内角をαとすると、

これらが最大となるとき三角形は、

底辺の長さがaで頂角がαの二等辺三角形で、

内接円の中心と外接円の中心の距離をdとすると、

二等辺三角形の高さは9+4-d

ピタゴラスの定理より底辺の半分は、

a/2=√｛9^2-(4-d)^2｝

α/2の角を共通に持つ直角三角形の相似により、

4：a/2=√｛(9-d)^2-4^2｝：9-d+4

4：√｛81-(16-8d+d^2)｝=√｛81-18d+d^2-16｝：13-d

4(13-d)=√｛(65+8d-d^2)(65-18d+d^2)｝

16(169-26d+d^2)=65^2-650d-d^2(144-26d+d^2)

d^4-26d^3+160d^2+234d-1521=0

(d-3)(d^3-23d^2+91d+507)=0

d=3

a/2=√(81-1)=√80=4√5

∴a=8√5

二等辺三角形の高さは9+4-3=10だから、

余弦定理より、

cosα=[2｛10^2+(4√5)^2｝-(8√5)^2]/[2｛10^2+(4√5)^2｝]

=(360-320)/360

=1/9

=0.1111111111……

cos83.6206297922°=0.1111111111

∴α=83.6°