【問題】△OEBの面積を求めよう【答案】

【問題】△OEBの面積を求めよう

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【答案】

直径5の円はx^2+y^2=25/4 ————(1)

Cのx座標は-｛5/2-3(3/5)｝=-(25-18)/10=-7/10

y座標は√(25/4-49/100)=√(625-49)/10

=√(576)/10

=12/5

C(-7/10,12/5)を通り傾き-4/3の直線は、

y=-4(x+7/10)/3+12/5 ———(2)

(1)(2)よりEのy座標はxを消去して、

30y=-40x-28+72

30y=-40x+44

20x+15y=22

x=-3y/4+11/10

(-3y/4+11/10)^2+y^2=25/4

9y^2/16-33y/20+121/100+y^2=25/4

25y^2/16-33y/20-504/100=0

25y^2/16-33y/20-126/25=0

625y^2-660y-1260-756=0

625y^2-660y-2016=0

y=｛330-√(330^2+625・2016)｝/625

=｛330-√(121・900+1260000)｝/625

=｛330-√(108900+1260000)｝/625

=｛330-10√13689｝/625

=｛66-2√13689｝/125

=｛66-18√169｝/125

=(66-18・13)/125

=(66-234)/125

=-168/125

∴△OEB=(1/2)(5/2)(168/125)

=42/25

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【問題】1辺4cmの正方形ABCDの辺CDを点Aを中心に30°回転した辺の通過面積は？【答案】

【問題】1辺4cmの正方形ABCDの辺CDを点Aを中心に30°回転した辺の通過面積は？

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【答案】

∫[x=-2→0](x/√3+8√3/3-√(16-x^2))dx

+∫[x=0→2√3-2](x/√3+8√3/3-4)dx

+∫[x=2√3-2→4]｛√(32-x^2)-4｝dx

=8√3/3-4π/3

+20-32√3/3

+4+8π/3-4(6-2√3)

=4π/3 cm^2

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→x=4sinθ

dx=4cosθdθ

x=4sinθ√2

dx=4cosθ√2

45°=π/4

15°=π/12

sin45°=√2/2

sin15°=(√6+√2)/4

　ふつうに置換積分するにしても、弧を足し集めるにしても、AI速い。速いし、確実。

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【別解】

半径Rの中心角30°の扇形の孤の長さは、

2πR(30°/360°)=πR/6

これをR=4から4√2まで足し集めると、

∫[R=4→4√2](πR/6)dR

=(π/12)[R^2](R=4→4√2)

=(π/12)(32-16)

=16π/12

=4π/3 cm^2

【問題】AFの長さを求めよ【答案】

【問題】AFの長さを求めよ。

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【答案】

FからAEを直交し、BE上のBからacmの点Ｐに至る直線を引き、AEとの交点をQとすると、

BP=PQ=a

△PEQにおいてピタゴラスの定理より、

a^2+1=(7-a)^2

1=49-14a

a=24/7

7-a=25/7

PC=25/7+17=144/7

QF=PF-a

=25PC/24-a

=(150-24)/7

=126/7

=18

QF：AQ：AF=3：4：5

∴AF=30 cm