【問題】1辺の長さ１の正12面体の頂点から3点を結んだ三角形の面積の最大値を求めよ。【答案】

【問題】

1辺の長さ１の正12面体の頂点から3点を結んだ三角形の面積の最大値を求めよ。

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【答案】

正十二面体の向かいあう辺の同じ側の端を結ぶ直線と正五角形の正中線のなす角をθとし、

外接球の半径をRとすると、

その直線の長さについて、

cosθ√(5+2√5)=1+sinθ√(5+2√5)

辺々二乗し、

(1-sin^2θ)(5+2√5)=1+2sinθ√(5+2√5)+(5+2√5)sin^2θ

1-5-2√5+2sinθ√(5+2√5)+2(5+2√5)sin^2θ=0

-2-√5+sinθ√(5+2√5)+(5+2√5)sin^2θ=0

sinθ=｛√(85+38√5)-√(5+2√5)｝/｛2(5+2√5)｝

Ｗ折線=1+sinθ√(5+2√5)

=1+｛√(85+38√5)√(5+2√5)｝/2(5+2√5)-1/2

=1/2+√｛(425+190√5+170√5+380)｝/｛2(5+2√5)｝

=1/2+(5-2√5)√(805+360√5)/10

=(3+√5)/2

正十二面体の中の正四面体の一辺Z折線は、

ピタゴラスの定理より、

R^2-(R/3)^2=｛Z折線・(√3/2)(2/3)｝^2

8R^2/9=(Z折線)^2/3

(Z折線)^2=R^2(8/3)

Z折線=R√(8/3)

4R^2=(W折線)^2+1^2

=(14+6√5)/4+1

=(18+6√5)/4

=(9+3√5)/2

R^2=(9+3√5)/8

8R^2/9=(3+√5)/3

=R^2-(R/3)^2

=(Z折線・√3/3)^2(∵ピタゴラスの定理)

=(Z折線)^2/3

(Z折線)^2=3+√5

面積が最大となる二等辺三角形の高さの二乗は、

(Z折線)^2-｛(W折線)/2｝^2=3+√5-｛(3+√5)/4｝^2

=3+√5-(7+3√5)/8

=(17+5√5)/8

∴S=(1/2)｛(3+√5)/2｝√｛(17+5√5)/8｝

=｛(3+√5)/4｝√(34+10√5)/4

=(3+√5)√(34+10√5)/16

=2.45682037291……