数学記号の表 ⅩⅢ【外鬼】合同算術・初等数論
数学記号の表 Ⅻ【下素】算術記号 合同算術・初等数論 記号 意味 解説 {\displaystyle \operatorname {mod} } 剰余 「xmody」は整数xの属する法yの剰余類や、xをyで割った余りを表す。C言語やその影響を受けたプログラミング言語などでは整数の剰余を与える演算子として%が定義されている[注 2]。Fortranのようにmodを用いる言語も存在する。 {\displaystyle \%} {\displaystyle |} 割り切る x|yは、xがyを割り切る、つまりxはyの約数であることを表す。 {\displaystyle \not |} {\displaystyle |}の否定 - {\displaystyle \bullet \equiv \bullet {\pmod {\bullet }}} 合同 n≡m(modd)はnとmがdを法として合同であることを示す。 {\displaystyle \operatorname {ord} (\bullet )} 位数 ある群の元の個数を群の位数という。また群の元xに対し、ordxはxの生成する巡回群の位数を表す。 {\displaystyle (\bullet ,\bullet )} 最大公約数 (a,b)はaとbの最大公約数を表す。gcdはgreatest common divisorの略である。プログラミング言語の数学ライブラリにおいて、最大公約数を与える関数（サブルーチン）がgcdとしてしばしば定義される。 {\displaystyle \gcd(\bullet ,\bullet )} 記号 意味 解説 {\displaystyle 0} 零元 加法的代数系の単位元を0あるいは0Sと書く。 {\displaystyle O} {\displaystyle 1} 乗法単位元 乗法的代数系の単位元を 1 あるいは 1Sと書く。 {\displaystyle e} 冪等元 環の冪等元をしばしばeで表す。 記号 意味 解説 {\displaystyle |\bullet |} 絶対値 |x| はxの絶対値である。 {\displaystyle \operatorname {abs} (\bullet )} {\displaystyle \|\bullet \|} ノルム ‖x‖ はxのノルムである。 {\displaystyle \Re \bullet } 実部 複素数zに対し、Re(z) はその実部を、Im(z) はその虚部を表す。z= Re(z) +iIm(z) {\displaystyle \operatorname {Re} \bullet } {\displaystyle \Im \bullet } 虚部 {\displaystyle \operatorname {Im} \bullet } {\displaystyle {\overline {\bullet }}} 共役複素数 複素数zに対し、{\displaystyle {\bar {z}}}はその共役複素数を表す。 {\displaystyle \operatorname {deg} \bullet } 次数 多項式fに対して、degfはその次数を表す。 {\displaystyle {\sqrt {\bullet }}} 冪根、根基 n√xはxのn乗根を表す。nが 2 であるときには単に √xと書くことが多い。イデアルの根基をあらわす。 {\displaystyle \langle \bullet ,\bullet \rangle } 内積 <x,y> はxとyの内積を表す {\displaystyle (\bullet ,\bullet )} 記号 意味 解説 {\displaystyle \dim _{\bullet }\bullet } 次元 ベクトル空間Vに対し、「dim V」はVの次元を表す。 {\displaystyle |\bullet |} 行列式 |X|は行列Xの行列式である。 {\displaystyle \det(\bullet )} {\displaystyle \operatorname {tr} (\bullet )} トレース tr(X) は行列Xのトレースである。 {\displaystyle {}^{t}\bullet ,\bullet ^{t}} 転置 tXは行列Xの転置行列である。 {\displaystyle \operatorname {rank} \bullet } 階数 線形写像φ に対して、rank φ は dim Image(φ) を表す。また、行列Aに対して、rank AはAの階数を表す。 {\displaystyle \operatorname {Ker} \bullet ,\ \ker \bullet } 核,零空間 群や環の準同型、ベクトル空間の間の線形写像φに対して、Kerφはその準同型の核を表す。 {\displaystyle \operatorname {Im} \bullet ,\ \operatorname {im} \bullet } 像 群や環の準同型、ベクトル空間の間の線形写像φに対して、Imφはその準同型の像を表す。 {\displaystyle \operatorname {Hom} _{\bullet }(\bullet ,\bullet )} 準同型の集合 HomK(F,G)は、作用域Kのある代数系F,Gの間の作用準同型 (homomorphism) 全体からなる集合を表す。 {\displaystyle \operatorname {Aut} (\bullet )} 自己同型群 Aut(G)は、Gのそれ自身に対する同型(automorphism) 全体からなる群を表す。 {\displaystyle \operatorname {Inn} (\bullet )} 内部自己同型群 Inn(G)は、Gの内部自己同型(inner automorphism) 全体からなる群を表す。 {\displaystyle \operatorname {End} (\bullet )} 自己準同型 End(G)は、Gのそれ自身に対する準同型 (endomorphism) 全体からなる集合（モノイド）を表す。 記号 意味 解説 {\displaystyle \langle \bullet \rangle } 生成 Gを群とすると、Gの部分集合Sに対し、〈S〉はSの生成する部分群を表す。特に、Sが一元集合S= {x}であるときには〈x〉とも書く。これはxの生成する巡回群である。環やベクトル空間などについても同様の記法を使う。 {\displaystyle (\bullet )} 生成するイデアル (a, ...)はa, ...の生成するイデアル {\displaystyle K[\bullet ]} 多項式環、生成する環 Kを可換環とするとき、K[x, ...]はKと{x, ...} を含む最小の環。生成系が不定元のみからなれば多項式の環である。 {\displaystyle K(\bullet )} 有理関数環、生成する体 Kを可換体とするとき、K(x, ...)はKと{x, ...} を含む最小の体。生成系が不定元のみからなれば有理式の体である。 {\displaystyle K\langle \bullet \rangle } 非可換多項式環、生成する環 Kを非可換環とするとき、K〈x, ...〉はKと{x, ...} を含む最小の環。 統計学の記号
