階乗(非負整数 n の階乗 factorial）Ⅵ 階乗に…
素数階乗
詳細は「素数階乗」を参照
素数階乗 (Primorial) n＃ は最初の n-個の素数の総乗
- {\displaystyle n\#=\prod _{i=1}^{n}p_{i}}
である[17]。オンライン整数列大辞典の数列 A002110。
これは、素数が無限に存在するという命題の証明に用いられることがある。
superfactorial (1)
詳細は「超階乗」を参照
Clifford Pickover 版の超階乗（superfactorial）は、階乗を入れ子に拡張したものである。ドル記号$を用いて書かれる。
- {\displaystyle n\$={}^{n!}n!=\underbrace {n!^{n!^{\scriptstyle n!^{{\textstyle \,\cdot }^{{\textstyle \,\cdot }^{{\textstyle \,\cdot \,}^{\scriptstyle n!}}}}}}} _{n!}}
nが3以上になると、非常に大きい値になる。
これとは異なる種類の超階乗 (superfactorial) の定義がある（次節参照）。
superfactorial (2)
ニール・スローンとサイモン・プラウフは、スーパー階乗（superfactorial）をThe Encyclopedia of Integer Sequences (N.J.A. Sloane 1995) の中で定義した。例として、4のスーパー階乗は次のようになる。
- {\displaystyle \mathrm {sf} (4)=1!\times 2!\times 3!\times 4!=288.\,}
一般的にスーパー階乗は下の式で定義される。
- {\displaystyle \mathrm {sf} (n)=\prod _{k=1}^{n}k!=\prod _{k=1}^{n}k^{n-k+1}=1^{n}\cdot 2^{n-1}\cdot 3^{n-2}\cdot 4^{n-3}\cdots (n-1)^{2}\cdot n^{1}.}
次のような定義もある。
- {\displaystyle \mathrm {sf} (n)=\prod _{0\leq i<j\leq n}(j-i)}
最初のいくつかの値は、次のようになる[18]。
- 1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, 125411328000, ……
スーパー階乗は、複素数値にも拡張できる。その結果はバーンズのG関数と呼ばれる。定義は次のようになる。
- {\displaystyle G(z+1)=(2\pi )^{z/2}{\text{exp}}\left(-{\frac {z+z^{2}(1+\gamma )}{2}}\right)\,\prod _{k=1}^{\infty }\left\{\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{k}{\text{exp}}\left({\frac {z^{2}}{2k}}-z\right)\right\}}
自然数に対しては、以下が成り立っている。
- {\displaystyle G(n+2)=\mathrm {sf} (n)={\begin{cases}0&{\text{if }}n=-1,-2,\dots \\\prod _{i=0}^{n}i!&{\text{if }}n=0,1,2,\dots \end{cases}}}
