ご訪問ありがとうございます。
過去記事の再アップです。
微分積分の超わかりやすい講義(1)の続きです。
動画「微分積分とは何か」のご紹介です。
私は微分積分を勉強できた幸せを日々かみしめています。
そのうれしさを世の中と広く分かち合いたいと思っています。
でも、どうやって?
微分積分は難しい、わかりにくいというイメージがあります。
記号や文字がぞろぞろ出てくるから。
しかし、たくみさん、さすがです。
1時間46分の長丁場でしたが、ちっとも見飽きることなく拝見しました。
お忙しい読者のみなさんのために、そして、自分の定着のために、
時間を追って何が話されているのかメモします。
よろしければご覧ください。
興味をもったところをピンポイントで見るのもいいですね。
時間を秒単位で書きましたが、あまり厳密ではなく多少のずれがあります。
メモだけに省略や間違い、言葉の書き換えもあります。
正確な内容は、必ず動画をご覧ください。
5:19 微分積分は現代科学の基礎である
大砲を撃つときに、標的に当てるためにどういう速度と角度で撃つか、という例え話をしていました。
8:19 世界は「微分」で記述され、「積分」で読み解く
たくみさんの名言です。
改めて痺れますね。
色紙に書いてもらおうかな。(いつ会えるかな?)
何のこと?と思った方もご安心ください。順番にご覧になれば、最後には納得しますよ。
9:53 メリットとして、世界を見る目が変わる!
10:48 数学は、ものごとを抽象化する
11:08 数学は美しい
抽象化されたものだけを集めたのが数学
数学には本質が詰まっている
ホリエモンに数学を教えたら、ハマって「美しい」を連発
一流の経営者は一般化が得意
色んな物事を見て共通のルールを見いだしていく
世界最高の起業家イーロン・マスクは若者に「物理を勉強しなさい」と言った。
ドワンゴ創業者の川上さんは数学の家庭教師をつけている。
社員にも「大学の数学の基礎を知っておくように」と言っている。
一流の経営者には数学が好きな人が多い。
13:39 微分積分を理解した人だけがかけられる「微積のめがね」
日常に直接役立つわけではないが、間接的に役に立つ。
15:55 「関数」とは何かを理解する
入力→箱→出力
この箱が関数
17:30 関数とは変換装置である
fは、functionから
18:56 関数とは、数と数の間の関係のこと
22:44 「グラフとは何か」を理解する
→入力と出力の関係を図示したもの
この辺り、実際にグラフを書きながらの説明
横軸に入力を、縦軸に出力をおく
27:48 関数とは、数と数の間の関係
グラフとは、それをぱっと見でわかるようにしたもの
29:00 「微分とは何か」を理解する
→微分とは「傾き」のこと。
字面でびびる必要はない。
等速運動の例
1秒のとき2m、9秒のとき6mのところにいる車の速度を求める
速度=距離の変化/時間の変化
「き・は・じ」で覚えた人いるよね?
だじゃれ
「木の下のはげたじじい」
「キティーちゃん弾けて自爆」
2番目のがやばい。
等速運動のグラフを書いて説明
傾き=縦軸の変化/横軸の変化
41:00 速度は、グラフの傾きである
等速でないときはどうするか?
ちょっとここは文字では伝わりにくいので、
たくみさんの板書を写したものを。
44:00 チョロQは微分ですね。
生徒さんの発言ですが、たくみさんが、「いい例えですね!」と言ってました。
この生徒さんは中1で数学に挫折して、その後は全て謎。高校では授業を全く聞いてない、と話していました。
その彼女が微分のイメージをつかめたのはすごい!本当にすごい!
曲線の傾きをどう求めるか。
2点を定めると、2点間の平均の速度を求めることができます。
デルタΔが出てきました。
Δは変化です。
Δtは、時間の変化です。
Δ×tではありません。
新しい記号を導入するときの説明がとても丁寧で、起こりやすい間違いも一緒に説明してくれるから、安心です。
この辺り、本当に見習いたい。
近いところに2点を取る方が、傾きがリアルに近い
ものすごく近づけて、一つの点と区別がつかなくなるぐらいにすると
傾きは接線に近づく
51:54 瞬間の速度lim 限界まで近づける
52:00 新しい記号が出てきたら「どういう命令なのか」考える
Δtを限りなく小さく
56:20 微分とは、限りなく小さな変化を見る
57:21 微分は現実にどう役立っている?
山のピークと谷の底を見る
59:39 傾きがゼロになるところが重要 (極値を取るところですね)
増減表を書く練習をするのは、こういう意味があるのです!
1:01:10 変化を見ることで全体をつかむことも、重要なポイントを見ることもできる
実際のプロセス
問題を数式化 y=f(x)関数にする→微分 dy/dx 分析する
104:09 「積分とは何か」を理解する
→積分とは「面積」のこと
等速運動なら、動いた距離を長方形の面積として表せる(グラフで解説)
1:07:25 等速でないものの運動を考えると、自然に微分と積分が出てくる
身近にありますよね
ふにゃっとした曲線とt軸、aからbまでの面積を求めましょう。
とっても細い短冊形で埋める
幅Δt
高さはf(t)
だから
面積はf(t)×Δt
距離≒f(t)×Δtを t=aからbまで足したもの
(面積)
Δtを限りなく小さくすると、ズレがなくなる
∫は、s(英語で足すsumの頭文字)を縦に伸ばしたもの
何と積分の式の意味が分かってしまいました!
1:15:24 積分とはめちゃくちゃ小さい変化を足していくこと
「人生は積分だ」by はなお
理系YouTuberはなおさん、品の良い雰囲気が好き。
たくみさんとはなおさんは、お友達なのですね。
1:17:45 予測と微分積分の関係
1:23:00 講義終了~
質疑応答
Q プロ野球のホームランで看板にボールが当たっても推定飛距離が出るのは?
A 速度と角度、ボールの質量が分かっていれば、出ます。
ニュートンの運動方程式は同時代の人たちに受け入れられなかった。
Q 天文学者のエドモンド・ハレーは実際に彗星を見たのか?
A 存命中にハレー彗星を見たことはなかった。しかし、過去の記録から軌道を知り、ニュートンの運動方程式を当てはめてその出現年月日を予測した。ちょうどクリスマスイブ、そしてニュートンの誕生日!!!
人々は、ニュートンの正しさを知るところとなる。(ここは本当に涙が出るほど感動した)
Q実際の微分はどのように計算するの?
極限の定義を用いて x=t^2 (tの2乗)を微分してみる。
自分は微分ができると思っている高校生でも、こういう形で微分できる人は少ないんだよ。
(ホモルーデンス余談:2015年センター試験で「極限の定義」が出題された時に、正答率が非常に低くて話題になりました)
動画は以上です。
右側の赤字は、私が何となく思いついたことを
もやもやを囲っておく
勉強するって心をオープンにすることだ
数学を教える者として、あちこちに感動ポイントがありました。
板書の取り方
生徒さんの興味を引く話し方
数学が超苦手な生徒さん目線で、安心するような言葉の数々。
極限の定義など、本質を押さえている
Δや∫などの記号を、意味が分かるように説明しつつ導入する。
YouTubeのコメントが大量につきました。
高校の時こんな先生だったら・・・
のようなのがいくつもありました。
ホント、そうですよね。
ヨビノリ先生とはレベルが違いますが、
私も「こんな先生だったら数学がんばれそう」
と言っていただけるように精進します。
長くなりましたが、最後までお読みいただき本当にありがとうございます。
一度ですべてが解決できるわけではありませんが、
「微分積分がわからない」実は「数学Ⅱ に怪しいところがある」と突き止めて
対処法をお伝えすることはできます。
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滋賀県出身 京都大学法学部卒
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